Teilmenge

Teilmenge

Eine Menge A ist Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist.

Beispiel:

Die Klasse K besteht aus Jungen und Mädchen. J ist die Menge der Jungen, M ist die Menge der Mädchen. Offensichtlich gilt: Die Menge der Jungen ist eine Teilmenge der Klasse. Die Menge der Mädchen ist eine Teilmenge der Klasse.

Zahlenmengen

In der Mengenlehre sind die Zahlen als Elemente von Zahlenmengen festgelegt, in den sogenannten Standardmengen.

Natürliche Zahlen

Innerhalb der natürlichen Zahlen ist die Verknüpfung Addition abgeschlossen, d. h. die Addition zweier natürlicher Zahlen führt wieder zu einer natürlichen Zahl.

Die Subtraktion ist nicht abgeschlossen, da nicht jede dieser Verknüpfungen wieder zu einem Element aus IN führt.

Beispiel:

Die Zahlenmenge muss also so erweitert werden, dass die Verknüpfung Subtraktion uneingeschränkt möglich ist.
Diese Zahlenmenge ist die Menge der ganzen Zahlen.

Ganze Zahlen

Die Menge der ganzen Zahlen enthält die Elemente der Menge der natürlichen Zahlen und alle negativen ganzen Zahlen.

In der Menge der ganzen Zahlen sind die Verknüpfungen Addition, Subtraktion und Multiplikation abgeschlossen. Bei der Division zeigt sich jedoch wieder die Unzulänglichkeit dieser Zahlenmenge.

Beispiel:

Die Erweiterung der Menge der ganzen Zahlen um die Bruchzahlen führt zur Menge der rationalen Zahlen, in der die Division nahezu uneingeschränkt möglich ist. Die Division durch Null ist nicht erlaubt.

Rationale Zahlen

Für jede rationale Zahl gibt es unendlich viele Schreibweisen, so dass in der aufzählenden Form der Menge nur die Repräsentanten (nicht mehr kürzbare Brüche) aufgeführt werden.

Zusätzlich zu den rationalen Zahlen existieren auf dem Zahlenstrahl Punkte, die keiner rationalen Zahl entsprechen, also nicht durch

dargestellt werden können.

Da diesen Zahlen wie den rationalen Zahlen wirklich ein Punkt auf dem Zahlenstrahl zugeordnet ist, nennt man alle Zahlen, denen genau ein Punkt auf dem Zahlenstrahl zugeordnet ist, die Menge der reellen Zahlen.

Reelle Zahlen

Der Zahlenstrahl:

In der Menge der reellen Zahlen sind die Verknüpfungen Addition, Subtraktion Multiplikation, Potenzieren, uneingeschränkt und die Division ohne Divisor 0 möglich.

Die Verknüpfungen Radizieren und Logarithmieren sind nicht uneingeschränkt möglich.

Diese Verknüpfungen sind in einer nochmals erweiterten Zahlenmenge abgeschlossen, der Menge der komplexen Zahlen .