Lösungen Aufgaben Differentialrechnung I: Steigung und Tangente mit komplettem Lösungsweg

Hier findest du die Lösungen der Aufgaben zur Differentialrechnung IV mit komplettem Lösungsweg. Ähnlich wie in den Aufgaben zur Differentialrechnung I, II und III muss man hier Funktionen ableiten und die Steigung berechnen.

1. a) Chemische Reaktionen

01a_mc_l
b) Die Wasserstoffproduktion pro Zeiteinheit wird immer geringer.
c)
01c_l

2. Berechne die Änderungsrate

02_l

3. Gegeben ist die Funktion f(x) = \frac{3}{4}x^2 - 3x  .

a)
f(x) = \frac{3}{4}x^2 - 3x    die   mittlere   Änderungsrate   in    [2 ; 5]  ist   \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(5) - f(2)}{5 - 2}
f(5) = \frac{3}{4} \cdot 25  - 3 \cdot 5 = 3,75    f(2) = \frac{3}{4} \cdot 4 - 3 \cdot 2 = -3  \Delta x = 5 - 2 = 3 \\ \Rightarrow \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{3,75 - (-3)}{3} = \frac{6,75}{3} = \underline{\underline{ 2,25}}

3b) Die Gleichung der Sekante s(x) durch die Punkte P und Q ist genauso zu bestimmen wie die Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte.

P(2 | f(2)) \Rightarrow aus    Aufgabenteil  a)   P(2 | - 3)
Q(5 | f(5)) \Rightarrow aus    Aufgabenteil  a)   Q(5 | 3,57) \\ s(x) = a_1 \cdot x + a_0    mit   a_1 = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{(f(5) - f(2)}{5 - 2} = 2,25   siehe    Aufgabenteil  a) \\ \Rightarrow s(x) = 2,25x + a_0 \\ P(2 | -3) : s(2) = - 3 \Leftrightarrow 2,25 \cdot 2 + a_0 = -3 \Leftrightarrow a_0 = -7,5 \\ \Rightarrow s(x) = 2,25 x - 7,5 ist die Sekantengleichung.

3c)
03c_l
3d)
03d_mc_l

4. Freier Fall

Die momentane Geschwindigkeit ist gleichbedeutend mit der momentanen Änderungsrate.
04_l

5. Ein Pudding kühlt nach seiner Zubereitung ab.

a) Die anfängliche Temperatur lässt sich aus dem Graphen zu 90 0C ablesen.
b) Die Funktionswerte streben asymptotisch gegen den Wert 20 0C.
c) Die Abkühlungsgeschwindigkeit ist zu Beginn des Vorgangs am größten.
d) Das negative Vorzeichen bedeutet, dass die Änderungsrate negativ ist,die Temperatur des Puddings nimmt ab.

05d_l

Hier findest du die Aufgaben

und hier die Theorie: Steigung und Tangente.

Hier findest du eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Differentialrechnung, darin auch Links zu weiteren Aufgaben.