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Harmonische Schwingungen zm_024 word pdf

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Beschreibung von Schwingungen

Versuch Wir beobachten die Bewegung eines Fadenpendels

Lenken wir die Kugel aus und lassen sie los, dann führt sie eine sich ständig wiederholende Hin - und Herbewegung aus.

Eine solche Bewegung heißt periodische Bewegung.

Eine vollständige Hin - und Herbewegung der Pendelkugel nennen wir eine Periode.

Die Zeit, in der das Pendel eine Periode ausführt, heißt Periodendauer T.

Während jeder Hin - und Herbewegung schwingt die Pendelkugel zum selben Umkehrpunkt und hat dort ihre größte Auslenkung.
Die Auslenkung von der Mittellage zum Umkehrpunkt nennen wir Amplitude der Schwingung.

Die Anzahl der Perioden pro Sekunde heißt Frequenz f.

Merke dorn_403_01

Versuch Wir lenken ein Fadenpendel mit derPendellänge l = 2 m um 40 cm aus und messen die Zeit T für eine Periode.
Wir bestimmen die Zeit für n = 10 Schwingungen t = 28 s.
Die Periodendauer beträgt 28 s/10 = 2,8 s.
Wie wiederholen den Versuch mit der halben Amplitude 20 cm.
Die Periodendauer beträgt wieder 2,8 s.
Wir wiederholen den Versuch bei kürzeren Pendellängen.
Die Ergebnisse schreiben wir in eineTabelle.
Wir berechnen die Frequenz f = n/t

 
Pendellänge l in m 2 1 0,5 0,25
Anzahl der Schwingungen n 10 10 10 10
Zeit t für n Schwingungen in s 28 20 14 10
Periodendauer T = t/n in s 2,8 2 1,4 1
Frequenz f = n/t in Hz 0,36 0,5 0,71 1
dorn_403_01

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Das Fadenpendel
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http://www.walter-fendt.de/ph14d/fadenpendel.htm

Die Harmonische Schwingung

Eine Stimmgabel erzeugt einen Ton. Ihre Zinken zeigen dabei eine besonders gleichmäßige Hin - und Herbewegung. Deren Aufzeichnung ergibt eine Sinuskurve. Eine solche Schwingung nennen wir harmonische Schwingung oder Sinusschwingung.

Darstellung von Sinusschwingungen

 
Darstellung von Sinusschwingungen

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Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels
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http://www.walter-fendt.de/m14d/sincostan.htm

Kraftgesetz der harmonischen Schwingung

 
Untersuchung am Federpendel
a) In der Gleichgewichtslage hebt die nach oben gerichtete (positive) Zugkraft F0 der Feder die nach unten gerichtete (negative) Gewichtskraft G gerade auf.
Es gilt G = - F0.
Also ist die Gesamtkraft F = G + F0 = 0

b) Nun wird der Körper um die Strecke s > 0 nach oben ausgelenkt. Dann verkleinert sich die nach oben wirkende Zugkraft der Feder auf F1 = F0 - D s. Die Gewichtskraft überwiegt. Es ergibt sich nach unten die resultierende Kraft:
F = G + F1 = G + F0 - D s = 0 - D s

F = - D s < 0

c) Lenkt man den Körper um die Strecke s < 0 nach unten aus, so vergrößert sich die nach oben wirkende Zugkraft der Feder auf F1 = F0 - D s. Beachten Sie, dass hier s negativ, also - D s positiv ist. Jetzt überwiegt die Federkraft. Die resultierende Kraft nach oben ist:
F = G + F1 = G + F0 - D s = 0 - D s

F = - D s > 0
dorn_403_03

Die Rückstellkraft F ist also proportional zur Auslenkung s.

Es gilt das Elongation - Kraft - Gesetz:

F = - D s

Versuch Wir befestigen einen Korken K' auf dem Rand einer vertikal gestellten drehbaren Scheibe. Die Drehzahl stellen wir so ein, dass die Umlaufdauer des Korkens gleich der Periodendauer des Federpendels ist. In der Schattenprojektion entsteht ein vertikaler Strich, an dem der Korkenschatten auf und ab gleitet. Der Kugelschatten des Federpendels vollführt die gleiche Bewegung.

 
Während der Korken K' auf einem Kreis mit dem Radius r umläuft, pendelt die Kugel K auf der s - Achse um ihre Gleichgewichtslage s = 0. Diese liegt in der Mitte zwischen den beiden Umkehrpunkten s = A = r und s = - A = - r. Der positive Wert A heißt Amplitude der Schwingung. Sie ist die maximale Auslenkung aus der Gleichgewichtslage.

Für die Auslenkung s gilt:
dorn_403_02

Das entspricht einer harmonischen Schwingung.
dorn_403_04

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Das Federpendel
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Die Winkelgeschwindigkeit

  dorn_403_03

Herleitung der Schwingungsgleichung

  dorn_403_04

Merke dorn_403_05

Das Fadenpendel

 
dorn_403_06 dorn_403_05

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Merke Ein Fadenpendel schwingt bei hinreichend kleiner Amplitude harmonisch.
Seine Periodendauer ist dann:
dorn_403_07

Bemerkung: Über die Periodendauer des Fadenpendels lässt sich sehr genau die Erdbeschleunigung g ermitteln.
Dazu muss die Fadenlänge und die Periodendauer gemessen werden.