Differenzierbarkeit von f(x) bei x = x0

Linksseitiger Grenzwert der Differenzenquotientenfunktion:
Rechtsseitiger Grenzwert der Differenzenquotientenfunktion:
Ist der linksseitige gleich dem rechtsseitigen Grenzwert der Differenzenquotientenfunktion, so ist f differenzierbar bei x0. Es existiert dann die Ableitung f'(x0), die Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt (x0 / f(x0)).

Veranschaulichung mit dem dazugehörigen Applet

Wählen Sie zuerst, ob x → x0 oder x → x1 gehen soll.
Wählen Sie nun, ob Sie den Grenzwert einseitig oder beidseitig betrachten wollen.
Verschieben Sie dann den (die) roten Punkt(e) gegen den blauen Punkt.
Die Funktion f(x) ist an der Stelle x0 stetig, weil der Grenzwert der Funktion f für x → x0 existiert und gleich dem Funktionswert f(x0) ist. Sie ist aber an der Stelle x0 nicht differenzierbar, weil der linksseitige Grenzwert der Differenzenquotientenfunktion nicht mit dem rechtsseitigen Grenzwert identisch ist (es ex. also nur die sog. links- und die rechtsseitige Ableitung).
Die Funktion f(x) ist an der Stelle x = x1 differenzierbar, weil der linksseitige Grenzwert und der rechtsseitige Grenzwert der Differenzenquotientenfunktion übereinstimmen (es ex. also die Ableitung f'(x1)).

© Peter Kraus