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Berechnung von
Umgebungswahrscheinlichkeiten
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An einigen Beispielen soll gezeigt werden, wie mit der Tabelle normalverteilter Zufallsvariablen zu arbeiten ist. Zu beachten ist, dass die zu dem Wert z gehörige Umgebung immer symmetrisch zum Erwartungswert µ liegt.

Intervall symmetrisch zum Erwartungswert

Gegeben ist ein n- stufiger Bernoulli- Versuch mit n = 500 und p = 0,33.
Zu bestimmen ist die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl der Erfolge im Intervall [ 150 ; 180].
Es soll mit einer Genauigkeit von drei Stellen hinter dem Komma gerechnet werden.

f_1327

Die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl der Erfolge im Intervall [ 150 ; 180 ] beträgt etwa 85,8%

des_135

Warum sind die Intervallgrenzen um jeweils 0,5 zu vergrößern, wenn mit den Tabellenwerten der Normalverteilung die Intervallwahrscheinlichkeit bestimmt wird?

f_1328

Die Daten der verwendeten Tabelle basieren auf der Normalverteilung. Würde man den Radius r = 165 - 150 = 15 wählen, so wäre dieser um 0,5 zu klein. Er würde nur die halbe Fläche der Säule von k = 150 bzw. von k = 180 berücksichtigen. Die folgende Grafik soll das erläutern.

des_136
Der gewählte Radius r = 4 ist zu klein. Er berücksichtigt auf jeder Seite vom Erwartungswert eine halbe Säule zu wenig, so dass die gewählte Umgebung nicht vollständig erfasst wird.

des_137
Der gewählte Radius r = 4,5 berücksichtigt auf jeder Seite vom Erwartungswert eine halbe Säule mehr, so dass die gewählte Umgebung vollständig erfasst wird.

%- Umgebung vom Erwartungswert

Bestimmen Sie die 90%- Umgebung vom Erwartungswert für n = 550 und p = 0,36.

f_1329

Die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl der Erfolge im Intervall [ 180 ; 216 ] beträgt etwa 90%

des_138

Intervalle außerhalb von Umgebungen

Gegeben ist ein n- stufiger Bernoulli- Versuch. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für die Ergebnisse außerhalb von Umgebungen um den Erwartungswert.

 
a) f_1330
b) f_1331

 
zu a) f_1332
Zu bestimmen ist die Wahrscheinlichkeit für das Intervall [0 ; 161]. Aus der Tabelle kann nur die Wahrscheinlichkeit für ein um den Erwartungswert symmetrisches Intervall abgelesen werden, dieses enthält die Werte [162 .... 168 ... 174 ]. Daran anschließend folgt das Intervall [175 .... 300], welches aus Symmetriegründen die gleiche Größe wie [0 ; 161] hat.
Es gilt folgender Ansatz: [ { 0 ... 161 } {162 ... 168 ... 174 } { 175 ... 300}]
f_1333
Die Wahrscheinlichkeit für weniger als 162 Erfolge ist etwa 22,4%
des_139
zu b) f_1334
Die Wahrscheinlichkeit für mehr als 80 Erfolge ist etwa 47,2%
des_140

Asymmetrische Umgebungen

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit einer nicht symmetrischen Umgebung vom Erwartungswert.

f_1335

Die Wahrscheinlichkeit der Erfolge im Intervall [89 ; 104] ist etwa 73,6%.

des_141

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Rechenhelfer für die Binomialverteilung
formel_02 int_02
formel_03 int_03
formel_04 int_04