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Erwartungswert, Varianz
und Standardabweichung
binomialverteilter Zufallsgrößen
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Beispiele von Binomialverteilungen für n = 40 und p variabel

Wird ein Bernoulli- Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,2 ist,
n = 40 mal durchgeführt, dann erwarten wir im Mittel 8 Treffer.

Binomialverteilung für n = 40 und p = 0,2 mc_195

Wird ein Bernoulli- Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,4 ist,
n = 40 mal durchgeführt, dann erwarten wir im Mittel 16 Treffer.

Binomialverteilung für n = 40 und p = 0,4 mc_196

Wird ein Bernoulli- Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,5 ist,
n = 40 mal durchgeführt, dann erwarten wir im Mittel 20 Treffer.

Binomialverteilung für n = 40 und p = 0,5 mc_197

Wird ein Bernoulli- Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,6 ist,
n = 40 mal durchgeführt, dann erwarten wir im Mittel 24 Treffer.

Binomialverteilung für n = 40 und p = 0,6 mc_198

Wird ein Bernoulli- Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,8 ist,
n = 40 mal durchgeführt, dann erwarten wir im Mittel 32 Treffer.

Binomialverteilung für n = 40 und p = 0,8 mc_199

Erwartungswert einer Binomialverteilung

Beim Würfeln erwarten wir, dass bei 6000 Würfen die Zahl 6 etwa 1000 mal auftritt. Das bedeutet nicht, dass die Zahl 6 tatsächlich 1000 mal auftritt. Der Erwartungswert setzt unendlich viele Experimente voraus, deren Mittelwert er darstellt.

Zusammenfassend kann man sagen:
Wird ein Bernoulli- Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p ist, n mal durchgeführt, dann erwarten wir im Mittel n mal p Treffer.

Erwartungswert
einer
Binomialverteilung
f_1291

Der Beweis soll an dieser Stelle nicht geführt werden. Er kann mithilfe des Binomischen Lehrsatzes erfolgen.

Bei Betrachtung der Histogramme fällt auf, das die mit der größten Wahrscheinlichkeit auftretenden Ergebnisse dem Erwartungswert entsprechen. Die Form der Histogramme ist ähnlich, sie entspricht der einer Glocke. Für p = 0,5 liegen die Werte symmetrisch zum Erwartungswert. Für p < 0,5 ist die Verteilung "linksschief", für p > 0,5 dagegen "rechtsschief". In der Nähe des Erwartungswertes liegen die Ergebnisse mit den höchsten Wahrscheinlichkeiten. Die Höhe einer Säule entspricht der Wahrscheinlichkeit des zugehörigen Ergebnisses, ihre Breite beträgt 1 Einheit. Da aber die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten eines Zufallsexperimentes immer 1 ist, ergibt die Summe aller Säulenflächen ebenfalls den Wert 1. Die Fläche der Säulen in einem bestimmten Intervall ist somit ein Maß für die Wahrscheinlichkeit aller Erfolge, die in diesem Intervall liegen.

Varianz und Standardabweichung

 
mc_201
Binomialverteilung für n = 120 und p = 0,1
mc_200
Binomialverteilung für n = 40 und p = 0,3
Beide Binomialverteilungen haben den gleichen Erwartungswert.
f_1292 f_1293

Obwohl beide Verteilungen den gleichen Erwartungswert haben sehen sie unterschiedlich aus. Wir untersuchen die Streuung um den Erwartungswert. Aus der beschreibenden Statistik ist die Varianz, bzw. die Standardabweichung als Streumaß bekannt.

f_1294

Analog hierzu definieren wir für Wahrscheinlichkeitsverteilungen:

Varianz
und
Standardabweichung
f_1295

Speziell für Binomialverteilungen gilt:

Varianz
und
Standardabweichung
für
Binomialverteilungen
f_1296

Der Beweis soll an dieser Stelle nicht geführt werden.

 
f_1297 f_1298

Bei der ersten Verteilung ist die Streuung etwas größer als bei der zweiten.

 
film02 Video Von OberPrima Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung:
Erwartungswert Varianz und Standardabweichung sind drei Werte, die sich für eine Binomialverteilung recht zügig berechnen lassen, wenn wir n und p kennen. Dazu kommen noch ein paar flankierende Mathe-Vokabeln:
Von Olaf Hinrichsen (12. Februar 2009)
http://oberprima.com