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Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bei mehrmaligem Würfeln hängt die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Zahl zwischen 1 und 6 zu werfen nicht von dem vorherigen Ergebnis ab.
Jeder Wurf geschieht unabhängig von dem vorigen.
Werden hingegen aus einer Urne, die z.B. mehrere Kugeln mit zwei unterschiedlichen Farben enthält nacheinander Kugeln gezogen, ohne sie wieder zurückzulegen, dann ist die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ergebnis oft von dem vorigen Ergebnis abhängig.
In diesem Fall spricht man von einer bedingten Wahrscheinlichkeit.

Einführungsbeispiel

Eine Urne enthält 100 Kugeln.
70 Kugeln bestehen aus dem Material Holz und 30 Kugeln sind aus Kunststoff.
25 der Holzkugeln sind mit der Farbe rot gestrichen und 45 sind grün.
10 der Kunststoffkugeln sind rot und 20 sind grün.
Folgende Ereignisse werden definiert:
f_1249
Die Kugeln tragen zwei Merkmale mit jeweils zwei Ausprägungen.
f_1242

Dieser Sachverhalt kann in einer Vierfeldtafel dargestellt werden:

des_115

Aus der Urne wird eine Kugel zufällig gezogen.

Mit den Daten der Tafel lassen sich direkt folgende Wahrscheinlichkeiten berechnen:
f_1243

Die zugehörige Vierfeldtafel:
f_1244

Jemand zieht eine Kugel und spürt mit der Hand, dass es sich um eine Kunststoffkugel handelt.
Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Kugel in seiner Hand grün ist?
Das ist nicht die Wahrscheinlichkeit, mit der man eine grüne Kunststoffkugel zieht.
Aus der Vierfeldtafel lässt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit nicht ablesen.

Mit einem Ereignisbaum soll diese Frage nun geklärt werden.

des_116

f_1245
Die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung, dass A bereits eingetreten ist.
Diese Wahrscheinlichkeit nennen wir bedingte Wahrscheinlichkeit.

f_1250
In Worten:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür eine grüne Kugel gezogen zu haben, wenn man weiß, das die gezogene Kugel aus Kunststoff ist.
Es wird nach einer Wahrscheinlichkeit gesucht, die von einer Bedingung abhängt.
In diesem Fall lautet die Bedingung: Die gezogene Kugel ist aus Kunststoff.

Um die im Baumdiagramm noch fehlenden Wahrscheinlichkeiten auszurechnen, verwendet man die Pfadmultiplikationsregel:
f_1246

Die Regel, nach der die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnet wird, geht auf den englischen Mathematiker Thomas Bayes (1702 - 1761) zurück und wird daher auch Bayes'sche Regel oder auch Satz von Bayes genannt.
f_1248
f_1247
Wenn man also weiß, dass die gezogene Kugel aus Kunststoff besteht, dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie die Farbe grün hat: 2/3. Die Wahrscheinlichkeit eine grüne Kunststoffkugel zu ziehen ist hingegen 0,2.

Ein etwas anderer Zugang:

Eine Urne enthält 3 grüne und 2 rote Kugeln.
Zwei Kugeln werden nacheinander ohne Zurücklegen gezogen.
Es werden vier Ereignisse definiert:
      A: Grün wird im 1. Zug gezogen.
      B: Grün wird im 2. Zug gezogen.
      C: Grün wird im ersten und zweiten Zug gezogen.
      D: Grün im zweiten Zug unter der Bedingung, dass grün bereits im ersten Zug gezogen wurde.

Zu bestimmen sind die Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse.

Ein Baumdiagramm mit den Pfadwahrscheinlichkeiten veranschaulicht den Zusammenhang.
des_098
f_1149

Der Wert von P(D) wurde wie folgt ermittelt:
Unter der Voraussetzung (Bedingung) dass im 1. Zug grün gezogen wurde weiß man, dass noch 2 grüne und 2 rote Kugeln in der Urne sind.
Die Wahrscheinlichkeit für grün im 2. Zug ist dann 1/2.
Für die Wahrscheinlichkeit von D (grün im 2. Zug) unter der Voraussetzung dass A (grün im 1. Zug) schon eingetreten ist, wählt man die Bezeichnung P(D) = PA(B).

f_1150

Für eine weitere Untersuchung dient der Ausschnitt aus dem Pfaddiagramm, in dem PA(B) vorkommt.
des_099

Ist nach der Wahrscheinlichkeit PA(B) gefragt, so kann obige Gleichung wie folgt umgeformt werden:
f_1151
PA(B) ist die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung, dass A bereits eingetreten ist.
Wir überprüfen dieses Gesetz mit den vorliegenden Ergebnissen:
f_1152

Aus dem Urnenversuch (mehrfaches ziehen ohne zurücklegen) geht klar hervor, das die Wahrscheinlichkeit für die jeweils nächste Ziehung von der vorigen abhängt.
In einem solchen Fall sagt man, die Ereignisse sind voneinander abhängig.

Unabhängigkeit von Ereignissen

Bei einem Urnenversuch (mehrfaches ziehen mit Zurücklegen), wird die Anfangsbedingung immer wieder hergestellt, so dass die Wahrscheinlichkeit für die jeweils nächste Ziehung gleich ist, wie bei der ersten.
In einem solchen Fall sagt man, die Ereignisse sind voneinander unabhängig.

Eine Urne enthält 3 grüne und 2 rote Kugeln.
Zwei Kugeln werden nacheinander mit Zurücklegen gezogen.
Es werden vier Ereignisse definiert:
      A: Grün wird im 1. Zug gezogen.
      B: Grün wird im 2. Zug gezogen.
      C: Grün wird im ersten und zweiten Zug gezogen.
      D: Grün im zweiten Zug unter der Bedingung, dass grün bereits im ersten Zug gezogen wurde.

Das Baumdiagramm mit den zugehörigen Pfadwahrscheinlichkeiten:

des_100

f_1153

Die Wahrscheinlichkeit eine grüne Kugel zu ziehen bleibt immer gleich, da nach jedem Zug durch Zurücklegen der Kugel, die Ausgangssituation wieder hergestellt wird.
Die Wahrscheinlichkeit für grün im 2. Zug unter der Bedingung, das grün im 1. Zug bereits gezogen wurde ist P(D) = PA(B).

Ein Ausschnitt aus dem Baumdiagramm:

des_101

f_1154

Gilt PA(B) = P(B), so beeinflusst das Eintreten des Ereignisses A die Wahrscheinlichkeit von B nicht.
Man sagt, die Ereignisse A und B sind unabhängig voneinander.

Unabhängige
Ereignisse
Das Ereignis B heißt unabhängig vom Ereignis A, wenn das Eintreten von A die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von B nicht beeinflusst.
f_1155
Beispiel: Urnenziehung mit Zurücklegen.

Merke Für den Nachweis der Unabhängigkeit zweier Ereignisse A und B geht man wie folgt vor:
f_1156
dann sind die Ereignisse A und B voneinander unabhängig, anderenfalls sind die Ereignisse A und B voneinander abhängig.

Im Baumdiagramm erkennt man die Unabhängigkeit von Ereignissen daran, dass in der 2. Stufe die Teilbäume gleich sind. Sind sie hingegen verschieden, dann sind die Ereignisse voneinander abhängig.

Beispiel 1

Die Seitenflächen eines idealen Würfels werden wie folgt eingefärbt.
Zwei Seitenflächen mit der Farbe rot und zwei mit der Farbe grün. Eine Seitenfläche mit der Farbe schwarz und eine mit der Farbe blau.
Der Würfel wird zweimal geworfen. Folgende Ereignisse werden definiert:
A: Beim ersten Wurf erscheint die Farbe rot oder schwarz.
B: Beim zweiten Wurf erscheint die Farbe grün oder blau.
Untersuchen Sie, ob die Ereignisse A und B voneinander unabhängig sind.

f_1590

Zwei Ereignisse A und B sind unabhängig voneinander, wenn gilt:
f_1591
Die Ereignisse A und B sind unabhängig voneinander.

Die Zusammenhänge sollen nun an einer 4- Feldtafel und dem zugehörigen Baumdiagramm näher betrachtet werden. Bekannt sind:
f_1775
Daraus lassen sich die restlichen Werte für die 4- Feldtafel berechnen.
f_1776

Für das Baumdiagramm werden nun alle bedingten Wahrscheinlichkeiten benötigt, die sich leicht mit den Werten der 4- Feldtafel berechnen lassen.

 
f_1777 des_216

Der Vergleich mit der 4- Feldtafel zeigt, dass alle Ereignisse unabhängig voneinander sind, denn es gilt.

 
f_1778 Man erkennt die Unabhängigkeit der Ereignisse voneinander auch daran, dass in der 2. Stufe des Baumdiagramms die Teilbäume gleich sind.

Beispiel 2

Ein Würfel in Form einer dreieckigen Pyramide hat 4 gleich große Flächen mit den Zahlen 1 ; 2 ; 3; 4 (4rer- Würfel).
Der Würfel wird zweimal geworfen. Folgende Ereignisse werden definiert:
A: Beim 1. Wurf erscheint die Zahl 1 oder 2 und beim 2. Wurf die Zahl 1 ; 2 oder 4.
B: Die Zahl beim 2. Wurf ist eine andere als beim 1. Wurf.
Untersuchen Sie, ob die Ereignisse A und B voneinander unabhängig sind.

f_1592

Zwei Ereignisse A und B sind unabhängig voneinander, wenn gilt:
f_1593
Die Ereignisse A und B sind voneinander abhängig.

Die Zusammenhänge sollen nun an einer 4- Feldtafel und dem zugehörigen Baumdiagramm näher betrachtet werden. Bekannt sind:
f_1779
Daraus lassen sich die restlichen Werte für die 4- Feldtafel berechnen.
f_1780

Für das Baumdiagramm werden nun alle bedingten Wahrscheinlichkeiten benötigt, die sich leicht mit den Werten der 4- Feldtafel berechnen lassen.

 
f_1781 des_217

Der Vergleich mit der 4- Feldtafel zeigt, dass alle Ereignisse abhängig voneinander sind, denn es gilt.

 
f_1782 Man erkennt die Abhängigkeit der Ereignisse voneinander auch daran, dass in der 2. Stufe des Baumdiagramms die Teilbäume ungleich sind.

Beispiel 3

Eine Umfrage an Schulen über die Essgewohnheiten der Schüler hat ergeben, dass 45% aller Schüler gerne Schokolade essen.
55% aller Schüler ziehen andere Süßigkeiten vor.
60% aller Schüler gaben an Geschwister zu haben.
27% der Schüler haben Geschwister und essen gerne Schokolade.

Ein Schokoladenhersteller interessiert sich dafür, ob Schüler mit Geschwister eine besondere Vorliebe für Schokolade haben.
Anders ausgedrückt:
Hat die Tatsache, das ein Schüler Geschwister hat, einen Einfluss auf seine Vorliebe für Schokolade?

Die Erhebungsdaten lassen sich in einer Vierfeldtafel darstellen:
f_1157

Die zugehörigen Ereignisse sind:
A: Der Schüler hat Geschwister.
B: Der Schüler isst gerne Schokolade.

Überprüfung auf Abhängigkeit:
f_1251

Die Ereignisse sind unabhängig voneinander.
Das Bedeutet, ob ein Schüler Geschwister hat oder nicht, hat keinen Einfluss auf seine Vorliebe für Schokolade.

Die Zusammenhänge sollen nun an dem zugehörigen Baumdiagramm näher betrachtet werden. Für das Baumdiagramm werden nun alle bedingten Wahrscheinlichkeiten benötigt, die sich leicht mit den Werten der 4- Feldtafel berechnen lassen lassen.

 
f_1783 des_218

Der Vergleich mit der 4- Feldtafel zeigt, dass alle Ereignisse unabhängig voneinander sind, denn es gilt.

 
f_1784 Man erkennt die Unabhängigkeit der Ereignisse voneinander auch daran, dass in der 2. Stufe des Baumdiagramms die Teilbäume gleich sind.

Beispiel 4 mit Vierfeldtafel und Baumdiagramm

 
Ein Berufskolleg hat 1000 Schüler. Die folgende Vierfeldtafel gibt Aufschluss darüber, wie die Handys auf die Schüler verteilt sind.
f_1158
a) Berechnen Sie die relativen Häufigkeiten und tragen sie diese in eine neue Vierfeldtafel ein.
b) Benutzen Sie den Zusammenhang zwischen einer Vierfeldtafel und den Baumdiagrammen um die Bäume zu zeichnen.
c) Berechnen Sie alle bedingten Wahrscheinlichkeiten und tragen Sie diese in die Baumdiagramme ein.
d)
Aus der Gesamtheit aller Schüler wird einer zufällig ausgewählt.
1) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat die Person kein Handy?
2) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Person weiblich?
3) Falls eine ausgewählte Person kein Handy hat, mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sie männlich?
4) Falls eine ausgewählte Person weiblich ist, mit welcher Wahrscheinlichkeithat sie ein Handy?
5) Besteht ein Zusammenhang zwischen Geschlecht und Handybesitz?

 
a)   f_1159 f_1160 Summe
f_1161 0,410 0,397 0,807
f_1162 0,114 0,079 0,193
Summe 0,524 0,476 1

 
b) f_1178 f_1179
des_104 des_105

 
c) Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeiten:
Wahrscheinlichkeiten aus der Vierfeldtafel abgelesen und den Ereignissen zugeordnet
f_1175
f_1176 f_1177
f_1178
des_106
f_1179
des_107

 
d) Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten können nun direkt aus den Baumdiagrammen abgelesen werden.
1.) f_1180
Eine zufällig ausgewählte Person hat mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,193 kein Handy.
2.) f_1181
Eine zufällig ausgewählte Person ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,524 weiblich.
3.) f_1182
Eine zufällig ausgewählte Person, von der man weiß, dass sie kein Handy hat, ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,409 männlich.
4.) f_1183
Eine zufällig ausgewählte Person, von der man weiß, dass sie weiblich ist, hat mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,782 ein Handy.
5.) Überprüfung auf Abhängigkeit. (Zusammenhang zwischen Geschlecht und Handybesitz)
f_1252
Anderenfalls sind die Ereignisse voneinander abhängig.
Mit den bereits vorliegenden Ergebnissen lässt sich zeigen:

f_1253

Das bedeutet, in allen Fällen besteht eine Abhängigkeit zwischen Geschlecht und dem Handybesitz.

Aus den Baumdiagrammen lässt sich die Abhängigkeit der Ereignisse direkt ablesen, denn die Teilbäume der 2. Stufe sind verschieden.
Hat man den Zusammenhang einer Vierfeldtafel mit den Baumdiagrammen begriffen, dann lassen sich solche Aufgaben auch mit weniger Aufwand lösen. Das soll nun folgendes Beispiel zeigen.

Beispiel 5

Viele Internetnutzer klagen über Spam- Mails.
Nehmen wir an, in 1% der guten und 40% der Spam- Mails komme das Wort "Viagra" vor.
Außerdem seien 10% der Mails gut und 90% Spam.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Mail, von der man weiß, das in ihr das Wort "Viagra" vorkommt, eine Spam- Mail ist.?

f_1184

Aufstellen der Vierfeldtafel mit den vorgegebenen Daten.
Die % Werte entsprechen relativen Häufigkeiten (Wahrscheinlichkeiten).

90 % Spam bedutet Summe Spam = 0,9
10% gute Mails bedeutet Summe gute Mails = 0,1
40% der Spam-Mails mit Viagra bedeutet 0,9 x 0,4 = 0,36
1% der guten Mails mit Viagra bedeutet =0,1 x 0,01 = 0,001
Die restliche Werte kann man ausrechnen, da die Summen bekannt sind.

 
  f_1185 f_1186 Summe
f_1187 0,36 0,001  
f_1188      
Summe 0,9 0,1 1

 
Spam ohne Viagra:
Gute Mail ohne Viagra:
Summe aller Mails mit Viagra:
Summe aller Mails ohne Viagra:
0,9 - 0,36 = 0,54
0,1 - 0,001 = 0,099
0,36 + 0,001 = 0,361
0,54 + 0,099 = 0,639

Mit diesen Werten wird die Vierfeldtafel nun vervollständigt.

 
  f_1185 f_1186 Summe
f_1187 0,36 0,001 0,361
f_1188 0,54 0,099 0,639
Summe 0,9 0,1 1

Die Aufgabenstellung lautete:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Mail, in der  Viagra" steht, Spam ist?
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung, dass A eingetreten ist.

f_1189
Das bedeutet, in 99,7% aller Fälle ist eine Mail, in der Viagra steht, eine Spam- Mail.

Übung Die Tabelle zeigt Frauen und Männer einer Firma, unterteilt in Raucher und Nichtraucher.
f_1190

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, eine Person anzutreffen, die Raucher ist.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit eine Frau anzutreffen.
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit eine Raucherin anzutreffen.
d) Sie Treffen eine Frau an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sie Raucherin?
e) Überprüfen Sie, ob die Ereignisse A und B voneinander abhängig sind.
Lösung

Zusammenfassung

Bedingte
Wahrscheinlichkeit
Für die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses B unter der Bedingung, dass das Ereignis A bereits eingetreten ist, gilt:
f_1594

Unabhängige
Ereignisse
Das Ereignis B heißt unabhängig vom Ereignis A, wenn das Eintreten von A die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von B nicht beeinflusst.
f_1155

Zusammenhang zwischen Vierfeldtafel und Baumdiagramm

 
Vierfeldtafel
  f_1163 f_1164 f_1595
f_1165 f_1166 f_1167 f_1168
f_1169 f_1170 f_1171 f_1172
f_1595 f_1173 f_1174 1

Baumdiagramm
des_102

Vertauscht man bei einem Baumdiagramm die Reihenfolge der betrachteten Ereignisse, dann erhält man das umgekehrte oder inverse Baumdiagramm. Die Wahrscheinlichkeiten an den Pfadenden stimmen in beiden Baumdiagrammen bis auf die Reihenfolge überein. Die Pfadwahrscheinlichkeiten und damit auch die bedingten Wahrscheinlichkeiten unterscheiden sich im Allgemeinen voneinander. Sie beziehen sich auf verschiedene Ereignisse und daher auch auf verschiedene Teilgesamtheiten. Beachten Sie aber:

f_1596

 
Umgekehrte Vierfeldtafel
  f_1165 f_1169 f_1595
f_1163 f_1597 f_1598 f_1173
f_1164 f_1599 f_1600 f_1174
f_1595 f_1168 f_1172 1

Umgekehrtes Baumdiagramm
des_187

Vierfeldtafel und Baumdiagramm bei stochastischer Unabhängigkeit

Bei stochastisch unabhängigen Ereignissen A und B steht im ersten Feld der Vierfeldtafel für
f_1605.
Für die weiteren Felder gilt entsprechend einer Multiplikationstabelle ähnliches.
Im Baumdiagramm erkennt man die Unabhängigkeit von Ereignissen daran, dass in der 2. Stufe die Teilbäume gleich sind.

 
Vierfeldtafel
  f_1163 f_1164 f_1595
f_1165 f_1601 f_1602 f_1168
f_1169 f_1603 f_1604 f_1172
f_1595 f_1173 f_1174 1

Baumdiagramm
des_188

Übung Die Tabelle zeigt Frauen und Männer einer Firma, unterteilt in Raucher und Nichtraucher.
f_1190

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, eine Person anzutreffen, die Raucher ist.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit eine Frau anzutreffen.
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit eine Raucherin anzutreffen.
d) Sie Treffen eine Frau an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sie Raucherin?
e) Überprüfen Sie, ob die Ereignisse A und B voneinander abhängig sind.
Lösung:
Um die Wahrscheinlichkeiten bestimmen zu können, benötigen wir die relativen Häufigkeiten der Ereignisse. Im vorigen Beispiel gab es Rundungsfehler. Um diese möglicht zu vermeiden, sollte man die relativen Häufigkeiten und die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten in Bruchform darstellen.
f_1191
a) Die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Person anzutreffen, die Raucher ist, beträgt
f_1192
b) Die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Frau anzutreffen, beträgt
f_1193
c)
Die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Raucherin anzutreffen, beträgt
f_1194
d) Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine angetroffene Frau Raucherin ist, beträgt
f_1195
e) Zwei Ereignisse A und B sind unabhängig voneinander, wenn gilt:
f_1196
Die Ereignisse A und B sind voneinander abhängig.