Startseite
Zufallsexperimente
in der Wahrscheinlichkeitsrechnung
zm_089
word pdf

Feedback     Interesse an einer CD ?    

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aus der Beschäftigung mit Problemen, die im Zusammenhang mit Glücksspielen standen, entwickelte sich die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Auch heute noch werden Erkenntnisse und Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf Glücksspiele angewandt. Ähnlich wie bei Glücksspielen sind auch bei vielen naturwissenschaftlichen, wirtschafts- oder sozialwissenschaftlichen Erscheinungen Voraussagen und Planungen von Zufällen abhängig. Die Aufgabe der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist die Untersuchung von Vorgängen mit zufälligen Ausgängen auf mögliche Gesetzmäßigkeiten um diese für Prognosen zu optimieren.

Zufallsexperimente

Die Augenzahl beim Würfeln hängt vom Zufall ab. Das Würfeln, aber auch jedes andere Glücksspiel ist ein beliebig oft und gleichartig wiederholbarer Vorgang, bei dem der Ausgang nicht vorhersagbar ist. Solche Versuche nennt man Zufallsexperimente.

Zufallsexperiment Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment mit folgenden Eigenschaften:
  • Unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbar
  • Es gibt mindestens zwei mögliche Ergebnisse
  • Das Ergebnis ist nicht vorhersagbar

 
film02 Video 1 Von OberPrima Zufallsexperiment, Zufallsversuch:
Hierzu gibt Olaf Hinrichsen in einem Video auf seiner sehenswerten Webseite
http://oberprima.com ausführliche Informationen.

Beispiel Werfen eines Würfels
  • ist beliebig oft wiederholbar
  • Es gibt 6 mögliche Ergebnisse (also mindestens 2)
  • Das Ergebnis ist nicht vorhersagbar

Übung Ist die Wette über den Ausgang eines Fußballspiels ein Zufallsexperiment?
Lösung

Einstufige Zufallsexperimente

Einstufiges
Zufallsexperiment
Wird ein Zufallsexperiment einmal ausgeführt,
so spricht man von einem einstufigen Zufallsexperiment.

Beispiel Einmaliges werfen eines Würfels.
Einmaliges werfen einer Münze.
Einmalige Wette über den Ausgang eines Fußballspiels.

Ergebnis Der Ausgang des Zufallsexperimentes wird Ergebnis genannt.

Beispiele
Zufallsexperiment mögliches Ergebnis
Einmaliges werfen eines Würfels 4
Einmaliges werfen einer Münze Zahl
Einmalige Wette über den Ausgang eines Fußballspiels Sieg

Ergebnismenge Die Ergebnismenge enthält alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes.
  Die Ergebnismenge wird auch Stichprobenraum, oder Ereignisraum oder Ergebnisraum genannt.

Beispiele
Zufallsexperiment Ergebnismenge
Einmaliges werfen eines Würfels f_1024
Einmaliges werfen einer Münze f_1025
Einmalige Wette über den Ausgang eines Fußballspiels f_1026

Übung Geben Sie drei weitere Zufallsexperimente mit ihrer jeweiligen Ergebnismenge an.
Lösung

Darstellung der Ergebnismenge eines Zufallsexperimentes

Die Ergebnismenge kann in der Mengenschreibweise oder auch als Baumdiagramm dargestellt werden.

 
Darstellung in der Mengenschreibweise Darstellung als Baumdiagramm
Einmaliges werfen eines Würfels
f_1028 des_082
Einmaliges werfen einer Münze
f_1029 des_083
Einmalige Wette über den Ausgang eines Fußballspiels
f_1030 des_084

 
film02 Video 2 Von OberPrima Ergebnisse, Ergebnismenge:
Hierzu gibt Olaf Hinrichsen in einem Video auf seiner sehenswerten Webseite
http://oberprima.com ausführliche Informationen.

Ergebnis
und
Ergebnismenge
f_1031

 
film02 Video 3 Von OberPrima Ergebnismengen:
Hierzu gibt Olaf Hinrichsen in einem Video auf seiner sehenswerten Webseite
http://oberprima.com ausführliche Informationen.

Mehrstufige Zufallsexperimente

Zufallsexperimente, die sich aus mehreren hintereinander ausgeführten einstufigen Experimenten zusammensetzen, nennt man mehrstufige Zufallsexperimente.

Beispiel Zweimaliges werfen einer Heftzwecke

f_1032

Darstellung mittels Baumdiagramm:

des_085

Die Ergebnismenge lässt sich leicht aus dem Baumdiagramm ablesen:

f_1033

Es gibt 4 mögliche Ergebnisse. Im Baumdiagramm führt jeder Pfad zu einem Ergebnis.

Übung In einer Urne liegen 2 grüne (g) und eine blaue (b) Kugel.
Es werden zwei Kugeln gezogen und zwar nach folgender Vorschrift:
Nacheinander wird jeweils eine Kugel ohne zurücklegen gezogen.
Stellen Sie das Baumdiagramm auf und bilden Sie die Ergebnismenge.
Lösung

Übung In einer Urne liegen 2 grüne (g) und eine blaue (b) Kugel.
Es werden zwei Kugeln gezogen und zwar nach folgender Vorschrift:
Nacheinander wird jeweils eine Kugel mit zurücklegen gezogen.
Stellen Sie das Baumdiagramm auf und bilden Sie die Ergebnismenge.
Lösung

Übung Ist die Wette über den Ausgang eines Fußballspiels ein Zufallsexperiment?
Lösung:
Die Wette ist beliebig oft wiederholbar.
Es gibt 3 mögliche Ergebnisse (Sieg, unentschieden, Niederlage).
Das Ergebnis ist nicht vorhersagbar.
Also ist die Wette über den Ausgang eines Fußballspiels ein Zufallsexperiment.

Übung Geben Sie drei weitere Zufallsexperimente mit ihrer jeweiligen Ergebnismenge an.
Lösung:
f_1027

Übung In einer Urne liegen 2 grüne (g) und eine blaue (b) Kugel.
Es werden zwei Kugeln gezogen und zwar nach folgender Vorschrift:
Nacheinander wird jeweils eine Kugel ohne zurücklegen gezogen.
Stellen Sie das Baumdiagramm auf und bilden Sie die Ergebnismenge.
Lösung:
des_086 Ergebnismenge:
f_1034

Übung In einer Urne liegen 2 grüne (g) und eine blaue (b) Kugel.
Es werden zwei Kugeln gezogen und zwar nach folgender Vorschrift:
Nacheinander wird jeweils eine Kugel mit zurücklegen gezogen.
Stellen Sie das Baumdiagramm auf und bilden Sie die Ergebnismenge
Lösung:
des_087 Ergebnismenge:
f_1035