Potenzen, Wurzeln und ihre Rechengesetze

In diesem Beitrag gebe ich eine Übersicht über die Rechengesetze mit Wurzeln und Potenzen. Am Schluss stelle ich ein paar Tips und Tricks bei mBerechnungen mit Wurzeln vor.

  1. Potenz Definition
  2. Potenzgesetze
  3. Erweiterte Potenzdefinition
  4. Multiplikation und Division von Potenzen mit ungleicher Basis aber gleichem Exponenten
  5. Potenzieren und Radizieren von Potenzen
  6. Zusammenfassung der Potenzgesetze
  7. Tips und Tricks beim Berechnungen mit Wurzeln

Potenz Definition:

f_0293

Eine Potenz ist eine Multiplikation gleicher Faktoren (Basis), bei der der Exponent die Anzahl der Faktoren angibt, zum Beispiel:

f_0294
f_0295
f_0296
f_0297
f_0298
f_0299


Potenzgesetze

Addition und Subtraktion von Potenzen:

Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten kann man addieren oder subtrahieren.

Beispiele:

a) f_0300

b) f_0301

Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis

Potenzen mit gleicher Basis multipliziert man, indem man ihre Exponenten addiert und die Basis beibehält.

f_0302

Beispiele:

a) f_0303

b) f_0304

c) f_0305

Merke

f_0306

Das kannst du dir auch in diesem 📽 Video Potenzen multiplizieren ansehen.

Division von Potenzen mit gleicher Basis

Potenzen mit gleicher Basis dividiert man, indem man den Nennerexponenten vom Zählerexponenten subtrahiert und die Basis beibehält.

f_0307

Der Satz kann aber laut Definition nur gelten, wenn m > n ist.
Wir untersuchen daher die Fälle m = n und m < n.

f_0308

Wenn man gleiche Potenzen dividiert, erhält man im Ergebnis den Exponent 0.
Wenn man gleicher Zahlen dividiert, erhält man als Ergebnis 1.
Daher ist es sinnvoll, a0 = 1 zu definieren.

f_0309

Ist der Zählerexponent kleiner als der Nennerexponent, so erhält man bei der Anwendung der Regel über die Division von Potenzen eine negative Zahl als Exponent.
Um die Allgemeingültigkeit der Regel zu erreichen, muss man die Definition des Potenzbegriffes erweitern und die Potenz mit negativen Exponenten sinnvoll interpretieren.

Setzt man eine Potenz vom Zähler in den Nenner oder umgekehrt, so ändert sich das Vorzeichen des Exponenten.

f_0310



Erweiterte Potenzdefinition:

f_0311

Das heißt, die Basis der Potenz kann eine reelle Zahl sein. Der Exponent kann eine ganze Zahl sein.
Eine ausführliche Erklärung der Zahlenmengen findest du im Beitrag Entwicklung der Zahlenmengen.
Eine Übersicht dazu in Standardmengen und mathematische Zeichen.
Mit Hilfe dieser Definition sind die Regeln über die Multiplikation und Division ebenfalls uneingeschränkt gültig.

Beispiele:

a)
f_0312  Noch deutlicher wird dies, wenn wir Zahlen einsetzen:

\dfrac{2^5}{2^3} =2^{5-3} = 2^2 = 4
Wenn wir den Bruch ausrechnen: \dfrac{2^5}{2^3}  = \frac{32}{8} = 4    Stimmt also!

Als nächstes drehen wir den Bruch um:

\dfrac{2^3}{2^5} =2^{3-5} = 2^{-2} = \frac{1}{4}     Negative Exponenten ergeben also einen Bruch!

Wieder rechnen wir den Bruch zur Probe aus:

\dfrac{2^3}{2^5} =\frac{8}{32} = \frac{1}{4} Auch hier das gleich Ergebnise!

Dies kannst du dir auch in diesem 📽 Video Potenzen dividieren und negative Exponenten.

b)
f_0313

c)
f_0314

d)
f_0315

Multiplikation von Potenzen mit ungleicher Basis aber gleichem Exponenten

Potenzen mit ungleicher Basis aber gleichem Exponenten multipliziert man, indem man ihre Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.

f_0316

Beispiele:

a)
f_0317

b)
f_0318

Division von Potenzen mit ungleicher Basis aber gleichem Exponenten

Potenzen mit ungleicher Basis aber gleichem Exponenten dividiert man, indem man ihre Basen dividiert und den Exponenten beibehält.

f_0319

Beispiele:
a)
f_0320
b)
f_0321

Potenzieren von Potenzen

Potenzen potenziert man, indem man die Exponenten multipliziert.

f_0322

Beispiele:
a)
f_0323
b)
f_0324

Radizieren von Potenzen

Man zieht die Wurzel aus Potenzen, indem man den Potenzexponenten durch den Wurzelexponenten dividiert und die Basis beibehält.

f_0325

Damit kann man nun alle Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten darstellen. Das vereinfacht Berechnungen mit Wurzeln, weil man sich auf die bekannten Potenzgesetze stützen kann.

Beispiele:
a) f_0326
b) f_0327




Zusammenfassung der Potenzgesetze:

Potenzen mit:

gleichen Basen multipliziert man, indem man ihre Exponenten addiert.

pg_001: Potenzgesetz für die Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen

gleichen Basen dividiert man, indem man ihre Exponenten subtrahiert.

pg_002: Potenzgesetz für die Division von Potenzen mit gleichen Basen

ungleichen Basen aber gleichen Exponenten multipliziert man, indem man die Basen multipliziert und das Produkt mit dem Exponenten versieht.

pg_003: Potenzgesetz für die Multiplikation von Potenzen mit ungleichen Basen aber gleichen Exponenten

ungleichen Basen aber gleichen Exponenten dividiert man, indem man die Basen dividiert und den Quotineten mit dem Exponenten versieht.

pg_004: Potenzgesetz für die Division von Potenzen mit ungleichen Basen aber gleichen Exponenten

Potenzen potenziert man, indem man ihre Exponenten multipliziert.

pg_005: Potenzgesertz für das Potenzieren von Potenzen

Jede Wurzel kann man als Potenz mit gebrochenem Exponenten geschreiben.

pg_006: Wurzel als Potenz geschrieben

Der Potenzwert einer Potenz mit dem Exponenten 0 ist stets 1.

pg_007: Potenz mit dem Exponenten Null

Bildet man den Kehrwert einer Potenz, so ändert sich das Vorzeichen des Exponenten.

pg_008: Kehrwert einer Potenz


Tipps bei Berechnungen mit Wurzeln

Faktor aus der Wurzel ziehen

Beispiele:
a)
f_0329
b)
f_0330

Den Nenner wurzelfrei machen

Beispiele:
a)
f_0331
b)
f_0332

 

Aufgaben hierzu: Potenzen I Potenzen vereinfachen.

Hier findest du weitere Aufgaben und eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema Potenzen und zu anderen mathematischen Grundlagen.