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Hypothesentest,
ein einfacher Zugang mit Würfeln
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Einführung

Von einem Laplace- Würfel ist bekannt, dass bei einmaligem Wurf jede einzelne der 6 Zahlen mit der Wahrscheinlichkeit 1/6 auftritt. Bei vielen Würfelspielen hat die 6 eine besondere Bedeutung. Aus Sicht des Spielers mag ein guter Würfel der sein, der möglichst oft eine 6 liefert. Hingegen aus der Sicht eines Spielbetreibers sollte der Würfel möglichst selten eine 6 zeigen. Hier liegen also unterschiedliche Interessen vor, so dass Würfelmanipulationen denkbar erscheinen. Im Folgenden sollen Würfel getestet werden.

Fall I

Es wird vermutet, dass ein Würfel häufiger die 6 liefert, als es bei einem Laplace- Würfel zu erwarten ist ( p > 1/6 ). Um den Würfel zu testen, wird geplant, den Würfel n = 600 mal zu werfen und dabei die Zufallsvariable X = Anzahl der aufgetretenen Sechsen zu betrachten. Durch einen Hypothesentest soll untersucht werden ob p > 1/6 gilt. Welche Hypothese ist hierfür zu wählen?
Damit man p > 1/6 als richtig ansehen kann, muss man davon überzeugt sein,
das p ≤ 1/6 nicht stimmen kann. Getestet wird also die Hypothese H0: p ≤ 1/6 auch Nullhypothese genannt. Falls diese abgelehnt werden muss, wird H1: p > 1/6 auch Alternativhypothese genannt angenommen.

Bemerkungen zur Nullhypothese.
Die Nullhypothese H0 sollte immer die Hypothese sein, mit der der Test durchgeführt wird.
Für sie sollte gelten:
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Zur Nullhypothese gibt es stets eine Alternativhypothese.
f_1681
Eine Entscheidung für H0 führt stets zur Ablehnung von H1.
Eine Entscheidung gegen H0 führt stets zur Annahme von H1.

Der Fehler, der bei der Entscheidung gemacht werden kann, soll auf höchstens 5% beschränkt werden. Diese Größe heißt Signifikanzniveau. Um den Würfel zu testen, ist für
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ein Annahmebereich und ein Ablehnungsbereich zu berechnen.

Bemerkungen zur Vorgehensweise.
Bei dem Würfelexperiment handelt es sich um einen Bernoulliversuch mit einer Binomialverteilung der Zufallsvariablen X. Eine solche Verteilung ist nur dann symmetrisch zum Erwartungswert µ, wenn p = 0,5 ist. Für p = 1/6 ist die Verteilungsfunktion nicht mehr symmetrisch. Bei hinreichend hoher Streuung ist die Laplace- Bedingung ( Sigma > 3 ) erfüllt. Dann kann die Binomialverteilung durch eine zum Erwartungswert symmetrische Normalverteilung approximiert werden, so dass zur Berechnung von Umgebungswahrscheinlichkeiten die Tabelle der Wahrscheinlichkeiten für Sigma- Umgebungen normalverteilter Zufallsvariablen verwendet werden kann. Für den Umgebungsradius einer x%- Umgebung um den Erwartungswert gilt:
f_1683

Berechnung:
f_1684
Es ist ein rechtsseitiger Hypothesentest durchzuführen, denn eine hohe Anzahl 6er spricht gegen H0.
Bei einem Signifikanzniveau von 5% sind folgende Intervalle zu betrachten:
f_1685
die obere Grenze des Annahmebereichs für H0.
Es gilt:
Annahmebereich für H0: { 0 ... 115 }
Ablehnungsbereich für H0: { 116 ... 600 }

Zu prüfen ist der Ablehnungsbereich derart, das gilt:
f_1686
Berechnung mit dem GTR Casio fx-CG20
Eingabebeispiel mit ähnlichen Zahlen für P(X ≥ k) ≤ α ⇒ k = ? und P(X ≥ k)
f_1686_1
Bemerkung:
Die geringfügigen Unterschiede der Werte sind in der Berechnungsmethode zu finden.
Der Wert 0,0445 wurde mit gerundeten Tabellenwerten der Normalverteilung ermittelt.
Der Wert 0,0467... ist der realistische Wert, den die Binomialverteilung liefert, denn um eine solche handelt es sich in der Aufgabenstellung.
Da die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximiert werden kann, wenn die Laplace-Bedingung erfüllt ist, liefert die Normalverteilung Werte mit geringer Abweichung.

Auswertung:
Falls bei 600 Würfen die Anzahl der verzeichneten 6er in den Ablehnungsbereich von H0 ( { 116 ... 600 } ) fällt, ist H0 abzulehnen und H1 anzunehmen. Das würde bedeuten, das der Würfel tatsächlich mehr 6er lieferte als er sollte. Möglicherweise ist er gezinkt.
Falls die H0- Hypothese aufgrund des Versuchsergebnisses abgelehnt wird, geschieht das mit einem Fehler von etwa 4,45% (berechnetes Signifikanzniveau). Das ist der Fehler 1. Art und bedeutet:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die H0- Hypothese aufgrund des Versuchsergebnisses abgelehnt wird obwohl sie richtig ist, beträgt etwa 4,45%. Diese Wahrscheinlichkeit wird auch Irrtumswahrscheinlichkeit genannt.
Anders ausgedrückt:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 4,45% nimmt man an, dass der Würfel gezinkt ist, obwohl er in Ordnung ist.

Graphische Darstellung:
des_191

Fall II

Es wird vermutet, dass ein Würfel weniger die Sechs liefert, als es bei einem Laplace- Würfel zu erwarten ist ( p < 1/6 ).

Die Vorgehensweise ist analog wie bei Fall I.
Es soll untersucht werden ob p < 1/6 gilt.
Getestet wird also die Hypothese H0: p ≥ 1/6.
Falls diese abgelehnt werden muss, wird H1: p < 1/6 angenommen.

Berechnung:
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Es ist ein linksseitiger Hypothesentest durchzuführen, denn eine geringe Anzahl 6er spricht gegen H0.
Bei einem Signifikanzniveau von 5% sind folgende Intervalle zu betrachten:
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die untere Grenze des Annahmebereichs für H0.
Es gilt:
Annahmebereich für H0: { 85 ... 600 }
Ablehnungsbereich für H0: { 0 ... 84 }

Zu prüfen ist der Ablehnungsbereich derart, das gilt:
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Berechnung mit dem GTR Casio fx-CG20
Eingabebeispiel mit ähnlichen Zahlen für P(X ≤ k) ≤ α ⇒ k = ? und P(X ≤ k)
f_1689_1
Bemerkung:
Die geringfügigen Unterschiede der Werte sind in der Berechnungsmethode zu finden.
Der Wert 0,0445 wurde mit gerundeten Tabellenwerten der Normalverteilung ermittelt.
Der Wert 0,0424... ist der realistische Wert, den die Binomialverteilung liefert, denn um eine solche handelt es sich in der Aufgabenstellung.
Da die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximiert werden kann, wenn die Laplace-Bedingung erfüllt ist, liefert die Normalverteilung Werte mit geringer Abweichung.

Auswertung:
Falls bei 600 Würfen die Anzahl der verzeichneten 6er in den Ablehnungsbereich von H0 ( { 0 ... 84 } ) fällt, ist H0 abzulehnen und H1 anzunehmen. Das würde bedeuten, das der Würfel tatsächlich weniger 6er lieferte als er sollte. Möglicherweise ist er gezinkt.
Falls die H0- Hypothese aufgrund des Versuchsergebnisses abgelehnt wird, geschieht das mit einem Fehler von etwa 4,45% (berechnetes Signifikanzniveau). Das ist der Fehler 1. Art und bedeutet:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die H0- Hypothese aufgrund des Versuchsergebnisses abgelehnt wird obwohl sie richtig ist, beträgt etwa 4,45%.
Anders ausgedrückt:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 4,45% nimmt man an, dass der Würfel gezinkt ist, obwohl er in Ordnung ist.

Graphische Darstellung:
des_192

Fall III

Von einem Würfel wird vermutet, dass er die Sechs mit einer Wahrscheinlichkeit liefert, die nicht gleich 1/6 ist, wie es bei einem Laplace- Würfel zu erwarten wäre. Es soll ein Test entworfen werden, um die Hypothese, es handele sich um keinen Laplace- Würfel, zu untersuchen.
Die Vorgehensweise ist ähnlich wie bei Fall I und Fall II.
Es soll untersucht werden ob p ≠ 1/6 gilt.
Nullhypothese H0: p = 1/6; Alternativhypothese H1: p ≠ 1/6.
Anders als in Fall I und Fall II muss hier der Ablehnungsbereich von H0 auf beiden Seiten vom Erwartungswert liegen, denn viele 6er, wie auch wenig 6er sprechen gegen H0. Das Signifikanzniveau wird auf beide Ablehnungsbereiche zu gleichen Teilen aufgeteilt. Man spricht bei einem solchen Test von einem zweiseitigen Test.

Berechnung:
f_1690
Es ist ein zweiseitiger Hypothesentest durchzuführen, denn eine geringe Anzahl, wie auch eine hohe Anzahl 6er spricht gegen H0.

Bei einem Signifikanzniveau von 5% sind folgende Intervalle zu betrachten:
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die untere Grenze des Annahmebereichs für H0.
f_1692
die obere Grenze des Annahmebereichs für H0.

Es gilt:
Annahmebereich für H0: { 82 ... 118 }
Ablehnungsbereich für H0: { 0 ... 81 } u { 119 ... 600 }

Zu prüfen ist der Ablehnungsbereich derart, das gilt:
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Berechnung mit dem GTR Casio fx-CG20
Eingabebeispiel mit ähnlichen Zahlen für P(X ≤ k) ≤ α ⇒ k = ? und P(X ≥ k) ≤ α ⇒ k = ? und P(X ≤ k) und P(X ≥ k)
f_1693_1
Bemerkung:
Die geringfügigen Unterschiede der Werte sind in der Berechnungsmethode zu finden.
Der Wert 0,042 wurde mit gerundeten Tabellenwerten der Normalverteilung ermittelt.
Der Wert 0,0424... ist der realistische Wert, den die Binomialverteilung liefert, denn um eine solche handelt es sich in der Aufgabenstellung.
Da die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximiert werden kann, wenn die Laplace-Bedingung erfüllt ist, liefert die Normalverteilung Werte mit geringer Abweichung.

Auswertung:
Falls bei 600 Würfen die Anzahl der verzeichneten 6er in den Ablehnungsbereich von H0 ( { 0 ... 81 } ∪ { 119 ... 600 } ) fällt, ist H0 abzulehnen und H1 anzunehmen.
Das würde bedeuten, das der Würfel tatsächlich nicht die Anzahl 6er liefert, wie er sollte. Möglicherweise ist er gezinkt.
Falls die H0- Hypothese aufgrund des Versuchsergebnisses abgelehnt wird, geschieht das mit einem Fehler von etwa 4,2% (berechnetes Signifikanzniveau).
Das ist der Fehler 1. Art und bedeutet:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die H0- Hypothese aufgrund des Versuchsergebnisses abgelehnt wird obwohl sie richtig ist, beträgt etwa 4,2%.
Anders ausgedrückt:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 4,2% nimmt man an, dass der Würfel gezinkt ist, obwohl er in Ordnung ist.

Graphische Darstellung:
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Fehlerbetrachtungen

Fall I bis Fall III haben gezeigt, dass das jeweils gebildete Urteil falsch sein kann.

Fehler 1. Art:
Es handelt sich in Wirklichkeit um einen Laplace- Würfel, doch da das Testergebnis zufällig in den Ablehnungsbereich von H0 fällt, wird H0 fälschlicherweise abgelehnt.
Kurz: Die wahre Hypothese wird abgelehnt.

Fehler 2. Art:
Es handelt sich in Wirklichkeit nicht um einen Laplace- Würfel, doch da das Testergebnis in den Annahmebereich von H0 fällt, wird H0 fälschlicherweise angenommen.
Kurz: Die falsche Hypothese wird angenommen.
Der Fehler 2. Art lässt sich nur berechnen, wenn man bei einem gefälschten Würfel eine bestimmte Wahrscheinlichkeit für eine Sechs annimmt oder man sie weiß.

Ein Fallbeispiel soll das Verständnis erleichtern.

Fallbeispiel

Ein Glücksspiel auf dem Jahrmarkt heißt "Jede Sechs gewinnt".
Ein ehemaliger Mitarbeiter des Betreibers geht zur Polizei und behauptet, die Würfel seien derart gefälscht, dass 6er nur mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 0,13 auftreten würden. Der vom Betrugsdezernat beauftragte Kommissar Brinkmann macht sich zuvor Gedanken, wie er an den Fall herangehen will.
Aus seiner Schulzeit weiß er, dass Würfeln ein Zufallsversuch ist. Er weiß auch, dass bei einem Laplace- Würfel es durchaus vorkommen kann, dass auch nach mehr als 6 Würfen keine 6 erscheint. Um statistisch die Wahrscheinlichkeit für 6er mit einer hinreichenden Genauigkeit zu ermitteln, müsste er viele tausend Würfelversuche durchführen lassen. Da er aber nicht bis zu seiner Pensionierung mit diesem Fall beschäftigt sein möchte, beschließt er lediglich 600 Versuche zu dokumentieren und aus dem Ergebnis eine Schlussfolgerung zu ziehen.
Nach Sichtung der Stochastik- Unterlagen aus seiner Schulzeit, beschließt er zur Entscheidungsfindung einen Hypothesentest zu entwickeln.
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H0 soll auf einem Signifikanzniveau von 5% getestet werden.
Das ist der gleiche Test, wie er unter Fall II bereits beschrieben wurde. Annahmebereich von H0 { 85 ... 600 }; Ablehnungsbereich von H0 { 0 ... 84 } mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 4,45%.
Um den Fehler 2. Art berechnen zu können nimmt Kommissar Brinkmann aufgrund der Informantenaussage an, dass die tatsächliche Wahrscheinlichkeit für 6er p = 0,13 beträgt.
Er berechnet die Wahrscheinlichkeit mit der ein Ergebnis unter der Voraussetzung dass p = 0,13 stimmt, in den Annahmebereich von H0 fällt.

Berechnung:
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Berechnung mit dem GTR Casio fx-CG20
Eingabebeispiel mit ähnlichen Zahlen für P(X ≥ k)
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Auswertung:
Falls bei 600 Würfen die Anzahl der verzeichneten 6er in den Ablehnungsbereich von H0 fällt, wird der Kommissar den vermeintlich gefälschten Würfel beschlagnahmen und den Spielebetreiber verhaften. Den Fehler, den er bei dieser Entscheidung begeht, beträgt etwa 4,45%. Denn die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Laplace- Würfel dieses Ergebnis zeigt, beträgt 4,45%. Dieses Risiko geht der Kommissar ein.
Da andererseits, falls der Würfel wirklich gefälscht ist, mit einer Wahrscheinlichkeit von 21,5% die Anzahl der verzeichneten 6er in den Annahmebereich von H0 fällt, wird der Kommissar mit einer Wahrscheinlichkeit von 21,5% den gefälschten Würfel als solchen nicht erkennen.

Graphische Darstellung:
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Änderung des Signifikanzniveaus:
Kommissar Pingelig erhält einen ähnlichen Auftrag und lässt sich, da er von Stochastik nur wenig Ahnung hat, die Unterlagen von Brinkmann schicken.
Er will nun ähnlich verfahren, wie sein Kollege. Jedoch ein Signifikanzniveau von 4,45% erscheint ihm zu hoch. Er möchte mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 97,5% Sicherheit seine Entscheidung treffen.

Berechnung:
f_1696
Es ist ein linksseitiger Hypothesentest durchzuführen, denn eine geringe Anzahl 6er spricht gegen H0.

Bei einem Signifikanzniveau von 2,5% sind folgende Intervalle zu betrachten:
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die untere Grenze des Annahmebereichs für H0.

Es gilt:
Annahmebereich für H0: { 82 ... 600 }
Ablehnungsbereich für H0: { 0 ... 81 }

Zu prüfen ist der Ablehnungsbereich derart, das gilt:
f_1698
Berechnung mit dem GTR Casio fx-CG20
Eingabebeispiel mit ähnlichen Zahlen für P(X ≤ k) ≤ α ⇒ k = ? und P(X ≤ k)
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Fehler 2. Art:
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Berechnung mit dem GTR Casio fx-CG20
Eingabebeispiel mit ähnlichen Zahlen für P(X ≥ k)
f_1699_1

Auswertung:
Falls bei 600 Würfen die Anzahl der verzeichneten 6er in den Ablehnungsbereich von H0 fällt, wird Kommissar Pingelig den vermeintlich gefälschten Würfel beschlagnahmen und den Spielebetreiber verhaften. Den Fehler, den er bei dieser Entscheidung begeht, beträgt etwa 2,1%. Denn die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Laplache- Würfel dieses Ergebnis zeigt, beträgt 2,1%. Dieses Risiko geht Pingelig ein.
Da andererseits, falls der Würfel wirklich gefälscht ist, mit einer Wahrscheinlichkeit von 33,7% die Anzahl der verzeichneten 6er in den Annahmebereich von H0 fällt, wird der Kommissar mit einer Wahrscheinlichkeit von 33,7% den gefälschten Würfel als solchen nicht erkennen.

Graphische Darstellung:
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Fazit:
Die Gefahr, sich in der Öffentlichkeit durch vorschnelle, letztlich ungerechtfertigte Festnahmen zu diskreditieren ist bei Kommissar Pingelig geringer als bei Kommissar Brinkmann.
Der Preis für die Sicherheit ist jedoch ein größerer Fehler 2. Art, was bedeutet gefälschte Würfel werden seltener als solche erkannt.

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