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Rechengesetze für Vektoren in Koordinatendarstellung zm_233 word pdf


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Addition und Subtraktion von Vektoren

Vektoren werden addiert, bzw. subtrahiert, indem man die einander entsprechenden Komponenten addiert bzw. subtrahiert.

f_1874

  Beispiel
  Gegeben sind die drei Vektoren:
f_1875

Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

Bei der Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar, werden alle Komponenten des Vektors mit dem Skalar multipliziert.

f_1876

  Beispiel
  Gegeben sind die drei Vektoren:
f_1877

  Beispiel
  Der Abstand zweier Punkte P1 und P2 im dreidimensionalen Raum soll bestimmt werden.
des_263 Die Ortsvektoren zu den Punkten sind:
f_1878
Der Betrag des Verbindungsvektors beider Punkte entspricht ihrem Abstand voneinander im dreidimensionalen Raum.

f_1879

Bemerkung: Bei der Indizierung der Koordinaten xij steht der erste Index für den Punkt Pi und der zweite Index für die Koordinatenachse.

Das Skalarprodukt

Gegeben seien die beiden Vektoren
f_1880
Diese werden zunächst formal miteinander multipliziert:

f_1881

Beachtet man, dass für zwei senkrecht aufeinanderstehender Vektoren das Skalarprodukt Null und das Quadrat eines Einheitsvektors 1 ist, vereinfacht sich obenstehender Ausdruck sehr.

f_1882

Die Skalarmultiplikation lässt sich auch mit Spaltenvektoren durchführen:

des_264

  Beispiel
 
Welchen Winkel schließen beide Vektoren miteinander ein?
f_1883
f_1884
f_1885

Das vektorielle Produkt

Ähnlich wie beim skalaren Produkt wird zuerst formal multipliziert. Danach wird vereinfacht. Dazu sollte man sich die Regeln für das Kreuzprodukt noch mal ansehen.
Es gilt:
f_1886

Für die Basisvektoren des kartesichen Koordinatensystems gilt insbesondere:
f_1887

Formale Multiplikation:
f_1888

Der Aufbau der Formel lässt sich als dreireihige Determinante darstellen. Diese kann nach der Regel von Sarrus berechnet werden so dass sie die Berechnungsformel liefert. Um die Regel von Sarrus anzuwenden, werden zunächst die erste und die zweite Spalte noch einmal hinter die Determinante geschrieben. Anschließend werden alle diagonalen Verbindungen dreier Elemente gebildet und zwar 3 mal von links oben nach rechts unten, sowie 3 mal von links unten nach rechts oben. Die Produkte dieser jeweils drei Faktoren werden gebildet. Die so entstandenen Produkte werden zu einer Summe zusammengefasst und zwar derart, dass die Produkte von links oben nach rechts unten positiv und die von links unten nach rechts oben negativ zählen.

 
f_1889 des_265
f_1890

  Beispiel
 
Gegeben sind die Vektoren
f_1891
Das vektorielle Produkt aus beiden Vektoren soll gebildet werden. Das Ergebnis ist mit einer geeigneten Rechnung zu überprüfen.
f_1892

Die Probe kann mit dem skalaren Produkt durchgeführt werden. Das Kreuzprodukt beider Vektoren ist ein Vektor, der senkrecht zu der Ebene liegt, die von den beiden Vektoren aufgespannt wird. Demzufolge muss das skalare Produkt des Ergebnisvektors mit beiden Vektoren den Wert Null ergeben.

f_1893

  Beispiel
  Die Eckpunkte A, B und C eines Dreiecks haben die Koordinaten
A( 2 | -4 | 4 ); B( 0 | 3 | 2 ) und C( -4 | -4 | 6 ).
Der Flächeninhalt des Dreiecks ist zu berechnen. Das Ergebnis ist mit den Formeln der ebenen Trigonometrie zu überprüfen.
Vorüberlegung:
Eine Zeichnung soll die geometrische Darstellung zeigen.
Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist ein Vektor, der senkrecht zu der Ebene verläuft, die von den beiden Vektoren aufgespannt wird und dessen Betrag dem Flächeninhalt des Parallelogramms entspricht, das sich aus den beiden Vektoren bilden lässt. Die Diagonalen des Parallelogramms teilen dieses in jeweils zwei deckungsgleiche Dreiecke auf. Damit ist die Dreiecksfläche die Hälfte des Betrages vom Kreuzprodukt.

des_266

Die Ortsvektoren und die Vektoren der Dreiecksseiten werden ermittelt:

f_1894

Die Fläche des eingezeichneten Parallelogramms erhält man über das Kreuzprodukt:

f_1895

Ergebniskontrolle:
des_267 f_1896
f_1897

Die Probe bestätigt die erste Rechnung.

Zusammenfassung

Addition und Subtraktion von Vektoren f_1898

Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar f_1899

Das Skalarprodukt f_1900

Das vektorielle Produkt f_1901