Startseite
Betrag und Richtungskosinus von Vektoren zm_088 word pdf


Feedback     Interesse an einer CD ?    

Betrag eines Vektors

Es soll der Betrag eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordinatenschreibweise gegeben ist.

 
des_260 Betrachtet man nebenstehende Darstellung, so erkennt man, dass der Vektor
f_1853
die gerichtete Raumdiagonale eines Quaders ist, dessen Kantenlängen a1, a2, und a3 sind.
Der Betrag des Vektors stimmt daher mit der Länge der Raumdiagonalen überein.
Nach Anwendung des Satzes vom Pythagoras erhält man für den Betrag des Vektors:
f_1854

 
des_261 Liegt der Vektor als Ortsvektor vor, dann gilt:
f_1855

Beispiel:
f_1856

Der Richtungskosinus eines Vektors

Zur Bestimmung der Richtung, in die ein in Komponenten bzw. Koordinatenform gegebener Vektor im Raum zeigt, verwendet man die Winkel, die dieser Vektor mit den Einheitsvektoren bildet.

 
des_262 Der Winkel, den die Raumdiagonale bzw. der Diagonalvektor mit der x1 - Achse und damit auch mit deren Einheitsvektor bildet, liegt in einem Dreieck, das durch die Raumdiagonale, die Flächendiagonale der rechten Seitenfläche des Quaders sowie die x1 - Komponente des Diagonalvektors gebildet wird. Dieses Rechteck ist rechtwinklig, so dass gilt:
f_1857

Analoge Beziehungen erhält man auch für die anderen beiden Winkel, so dass man schreiben kann:

  f_1858

Die Funktionswerte der Kosinus der drei Winkel werden Richtungskosinus des Vektors genannt.

Für die Summe der drei Richtungskosinus gilt:

  f_1859
Das bedeutet: Die Quadratsumme der Richtungskosinus ist immer 1.

Dieser Zusammenhang lässt sich leicht durch eine einfache Rechnung zeigen:
f_1860

f_1861

Damit ist es nun möglich einen Vektor mit Hilfe seiner Bestimmungsgrößen Betrag und Richtung zu schreiben:

f_1862

Merke Die Koordinaten eines Einheitsvektors sind seine Richtungskosinus.
f_1863

Berechnungsbeispiele

  Beispiel 1
  Für folgende Vektoren sollen die Beträge und die Richtungskosinus berechnet werden:
a) f_1864 b) f_1865
Die Ergebnisse sind mit einer Genauigkeit von drei Stellen hinter dem Komma anzugeben.

Lösung: a)
Betrag:
f_1866
Der Vektor hat eine Länge von etwa 5,385 LE.
Richtungskosinus:
f_1867

Lösung: b)
Betrag:
f_1868
Der Vektor hat eine Länge von etwa 3,742 LE.
Richtungskosinus:
f_1869

Merke Ist der Kosinus eines Winkels negativ, dann liegt der Wert des Winkels zwischen 900 und 1800.

  Beispiel 2
  Gesucht ist der Ortsvektor von der Länge 2, der mit der x1 - Achse einen Winkel von 600 , mit der x2 - Achse einen Winkel von 1350 und mit der x3 - Achse einen spitzen Winkel einschließt.

Lösung:
f_1870

Zusammenfassung

Betrag eines Vektors,
Betrag eines Ortsvektors
f_1871

Richtungskosinus eines Vektors f_1872

Koordinaten des Einheitsvektors Die Koordinaten eines Einheitsvektors sind seine Richtungskosinus.
f_1873