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Das skalare Produkt word pdf


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Definition des skalaren Produktes

Die Definition der Arbeit im physikalischen Sinne ist eine Verknüpfung zwischen zwei Vektoren, deren Ergebnis eine reelle Zahl ist.

 
f_1818 des_245

Definition f_1819

Merke Ein skalares Produkt zweier Vektoren wird gleich Null, wenn mindestens einer der beiden Vektoren der Nullvektor ist oder wenn beide Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
f_1820

Für die skalare Multiplikation zweier gleicher Vektoren folgt:
f_1821

Mit Hilfe des skalaren Produktes kann der Betrag eines Vektors dargestellt werden.
f_1822

Rechengesetze für skalare Produkte.

Satz f_1823

  Beispiel 1
  f_1824
des_246
f_1825

 
Zusammenfassend lässt sich sagen:
Der Wert des skalaren Produktes zweier Vektoren ändert sich nicht, wenn man einen der Vektoren durch seine Komponente längs des anderen ersetzt.

f_1826
Da die Division zweier Vektoren nicht definiert ist, kann folgende Beziehung manchmal hilfreich sein: f_1827

  Beispiel 2
  f_1828
des_247 des_248
f_1829 f_1830

  Beispiel 3
  Der Kosinussatz der ebenen Trigonometrie soll hergeleitet werden.
des_249 f_1831
des_250 f_1832
des_251 f_1833

Besonderheit für ein rechtwinkliges Dreieck:
Da das Skalarprodukt zweier rechtwinklig aufeinanderstehender Vektoren Null ist, erhält man für obiges Beispiel den Satz des Pythagoras.
f_1834

  Beispiel 4
  Beweisen Sie, das die Seitenhalbierende der Basis eines gleichschenkligen Dreiecks senkrecht auf dieser steht.
des_252

f_1835
des_253
f_1836
f_1837

Euklidischer Vektorraum

Euklidischer Vektorraum Gelten zusätzlich zur algebraischen Struktur eines reellen Vektorraums, wie nachfolgend aufgelistet,
f_1838
folgende Gesetze,
f_1839
dann spricht man von einem euklidischen Vektorraum.

Bemerkungen:

Zu einem Vektor gibt es bezüglich der Skalarmultiplikation kein inverses Element. Das bedeutet, man kann durch einen Vektor nicht dividieren.

Bezüglich der Skalarmultiplikation von Vektoren gibt es kein neutrales Element, denn das Ergebnis ist eine reelle Zahl und kein Vektor.