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Grundbegriffe der Vektorrechnung zm_086 word pdf


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Vektor und Skalar

Ein Teil der in Naturwissenschaft und Technik auftretenden Größen ist bei festgelegter Maßeinheit durch die Angabe einer Maßzahl vollständig bestimmt. Solche Größen sind beispielsweise:
Länge, Masse, Arbeit, Energie, Zeit, Temperatur und Potential. Diese Größen können auf einer Skala dargestellt werden und heißen deshalb skalare Größen oder Skalare.
Größen, die zu ihrer eindeutigen Bestimmung neben der Angabe der Maßzahl noch die der Richtung benötigen, heißen vektorielle Größen oder Vektoren. Die Geschwindigkeit und die Beschleunigung sind solche Größen. Vektoren werden durch Pfeile dargestellt. Die Pfeillänge bestimmt den Betrag des Vektors, die Richtung des Pfeils bestimmt die Richtung des Vektors. Ein Vektor ist somit im Vergleich zu einem Skalar eine gerichtete Größe.

Unterschieden werden freie Vektoren, liniengebundene Vektoren und ortsgebundene Vektoren.

Die wesentliche Eigenschaft eines freien Vektors ist, dass er entlang seiner Wirkungslinie und parallel im Raum verschoben werden darf. Vektoren von gleicher Länge und gleicher Richtung sind einander gleich.

 
f_1790 des_226

 
Die Kraft, die an einem Körper angreift, stellt einen liniengebundenen Vektor dar. Dieser darf entlang seiner Wirkungslinie beliebig verschoben werden, nicht aber parallel dazu. des_227

Ein ortsgebundener Vektor, auch Ortsvektor genannt hat einen festen Angriffspunkt und darf nicht verschoben werden.

Addition von Vektoren.

f_1791

Addition zweier Vektoren
des_228

 
Für die Addition zweier Vektoren gilt das Kommutativgesetz.
f_1792
des_229

 
Bei der Addition von drei Vektoren müssen diese nicht in einer Ebene liegen. Jeder der drei Vektoren ist eine gerichtete Strecke im Raum. Die drei Vektoren können ein räumliches Gebilde aufspannen. Es gilt das Assoziativgesetz:
f_1793
des_230

 
Zwei betragsgleiche Vektoren mit entgegengesetzter Richtung heißen Gegenvektoren. Addiert man diese, so erhält man als Summe einen Vektor, dessen Anfangspunkt mit seinem Zielpunkt zusammenfällt. Da der Betrag dieses Summenvektors Null ist, heißt er Nullvektor. Er hat keine bestimmte Richtung. des_231
f_1794

Subtraktion von Vektoren.

Subtraktion zweier Vektoren

 
Die Vektorsubtraktion kann auf die Vektoraddition zurückgeführt werden. Ein Vektor wird subtrahiert, indem man den Gegenvektor addiert. des_232

Anwendungsbeispiele.

  Beispiel 1
  Vektoraddition zeichnerisch.
An einem Stromverteilermast greifen in einem Punkt 4 Kräfte an, die in einer Ebene liegen sollen. Zeichnerisch ist der Betrag und die Richtung der Resultierenden zu bestimmen. Zeichenmaßstab: 1 cm entspricht 100 N.
Aufgabenstellung:
des_233
Zeichnerische Lösung:
des_234
f_1795
Der Betrag der Resultierenden beträgt 220 N. Das bedeutet, an dem Verteilermast wirkt eine Restkraft von 220 N.
f_1796

Bemerkung:
Gegen den Uhrzeigersinn (links herum) werden Winkel von der Bezugsgeraden ausgehend positiv gezählt, im Uhrzeigersinn (rechts herum) hingegen negativ.

Die zeichnerische Lösung ist immer nur eine Näherungslösung. Sie ist nur so genau, wie gezeichnet werden kann. Eine rechnerische Lösung, die in einem späteren Kapitel behandelt wird liefert als exaktes Ergebnis:
f_1797

  Beispiel 2
 
f_1798 des_235
Lösung:
f_1799
Damit ist bewiesen, dass im Parallelogramm die Diagonalen durch ihren Schnittpunkt halbiert werden.

Kosinus- und Sinussatz als Hilfsmittel für Vektorberechnungen.

Bislang wurden Vektoren zeichnerisch addiert. Ergebnisse von zeichnerischen Lösungen sind nicht immer genau.

Kosinussatz
In jedem Dreieck lässt sich das Quadrat einer Seite aus den beiden anderen Seiten und deren eingeschlossenem Winkel berechnen.
f_1800
des_236

Sinussatz
In jedem Dreieck ist das Verhältnis von Seitenlänge zum Sinus des gegenüberliegenden Winkels für alle Seiten dasselbe:
f_1801
des_237

  Beispiel zum Kosinus- und Sinussatz
  f_1802
f_1803 des_238
Nach dem Sinussatz gilt:
f_1804

Zusammenfassung:

Zusammenfassung
1. Ein Vektor ist eine gerichtete, orientierte Strecke im Raum.
2. Vektoren sind gleich, wenn sie in Betrag, Richtung und Orientierung übereinstimmen.
3. Zwei Vektoren werden addiert, indem man den Anfangspunkt des einen Vektors an die Spitze des anderen setzt.
f_1805
zeigt dann vom Anfangspunkt des ersten Vektors zum Endpunkt des zweiten Vektors.
des_239
4. Vektor und Gegenvektor haben den gleichen Betrag und die gleiche Richtung, aber entgegengesetzte Orientierung.
5. f_1806 des_232