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Zinseszinsrechnung

In der Zinseszinsrechnung beschäftigt man sich mit der Entwicklung von einmalig angelegten Kapitalbeträgen zu einem Zinssatz, der in der Regel im Zeitablauf fest bleibt. Zinseszinsen lassen sich anhand einer mathematischen Formel berechnen, in die neben dem Anlagebetrag der jeweilige Zinssatz, der Anlagezeitraum und der Zinsturnus - sprich die Anzahl der Zinsgutschriften pro Jahr - einfließen. Ganz ohne einen Taschenrechner wird man also nicht auskommen, wenn man sich ein Bild davon machen möchte, wie sich das Guthaben im Laufe der Zeit entwickelt bzw. entwickeln kann.

  Einführungsbeispiel:
  Ein Immobilienmakler legt am Ende eines Jahres sein Weihnachtsgeld in Höhe von 4000 € auf ein Sparbuch mit 4- jähriger Kündigungsfrist. Das Kreditinstitut vereinbart mit ihm einen Zinssatz von 5%.
Wie entwickelt sich das Sparguthaben?
Das Anfangskapital beträgt K(0) = 4000.
Am Ende des 1. Jahres hat sich das Kapital um die Zinsen des 1. Jahres erhöht.
f_1903
Am Ende des 2. Jahres werden zu dem Kapital K(1) die Jahreszinsen des 2. Jahres addiert. f_1904
Am Ende des 3. Jahres werden wieder die Zinsen von 5% zu K(2) addiert. f_1905
Das endgültige Guthaben am Endedes 4. Jahres ergibt sich aus der Summe von K(3) und den Zinsen von K(3).
Der Makler kann nach 4 Jahren über einen Betrag von 4862,03 € verfügen.
f_1906
Allgemein gilt:
Nach n Jahren beträgt das Kapital somit:
f_1907

 
Die Zinseszinsformel
f_1908 Das Anfangskapital K(0) wächst in n- Jahren
bei einer Verzinsung von p%
auf das Endkapital K(n) an.
f_1909: Die Zinseszinsformel

  Beispiel 1
  Das Guthaben nach n Jahren wird berechnet.
Anfangskapital: K(0) = 10000 €
Zinssatz : p = 6,5%
Laufzeit : n = 18 Jahre
gesucht : Guthaben nach 18 Jahren
f_1910
Nach 18 Jahrenbeträgt das Guthaben: 31066,54 €.

  Beispiel 2
  Das Anfangskapital wird berechnet.
Für einen Autokauf sollen in 5 Jahren 20000 € zur Verfügung stehen. Welchen Betrag müsste man dafür jetzt zu 7% anlegen?
Vorüberlegung: Die Formel
f_1911: Formel für Zinseszins
muss nach dem Anfangskapital K(0) umgestellt werden.
Formelumstellung:
f_1912
Berechnung:
f_1913
Antwort:
Es muss ein Betrag von 14259,72 € für 5 Jahre zu 7% angelegt werden.

  Beispiel 3
  Der Zinssatz wird berechnet.
Zu welchem Zinssatz müssen 3325,29 € für 7 Jahre angelegt werden, damit am Ende des 7. Jahres 5000 € zur Verfügung stehen?
Vorüberlegung: Die Formel
f_1914
muss nach dem Zinssatz p umgestellt werden.
Formelumstellung:
f_1915
Berechnung:
f_1916
Antwort:
Damit nach 7 Jahren aus dem Anfangskapital 5000 € werden, muss der Zinssatz p = 6% betragen.

  Beispiel 4
  Die Laufzeit wird berechnet.
Wie lange müssen 6808,24 € zu 6,5% angelegt werden, bis sie auf 12000 € gewachsen sind?
Vorüberlegung: Die Formel
f_1917
muss nach der Laufzeit n umgestellt werden.
Formelumstellung:
f_1918
Berechnung:
f_1919
Antwort:
Um auf 12000 € anzuwachsen müssen 6808,24 € zu 6,5% 9 Jahre angelegt werden.

Zusammenfassung K(n) ist das n Jahre lang zu einem Zinssatz von p% verzinste Anfangskapital K(0) und lässt sich nach der Zinseszinsformel
f_1920
berechnen.
Durch entsprechende Formelumstellungen lässt sich auch das Anfangskapital, die Laufzeit und der Zinssatz berechnen.
f_1921