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Lineare Gleichungen zu Sachaufgaben

Was sind Sachaufgaben?

Viele Problemstellungen aus dem täglichen Leben sowie aus den unterschiedlichsten Wissenschaftsdisziplinen werden nicht in Form von mathematischen Gleichungen gegeben, sondern die Mathematisierung solcher Sachverhalte erfolgt aus der Beschreibung der Problematik. Das Problem ist zu mathematisieren. Dazu gibt es keine feste Regeln. Die Lösung solcher Aufgaben erfordert viel Übung und etwas Geschick. Hier ist logisches Denken die Voraussetzung dafür, den richtigen Ansatz zu finden.
In der Praxis findet man allerdings häufig, dass sich Problemstellungen im mathematischen Ansatz ähneln und damit das Aufstellen der entsprechenden Gleichungen sehr erleichtern.

Folgende Schritte sind bei der Lösung von Sachaufgaben durchzuführen:

  1. Den Text gründlich lesen, falls möglich eine Skizze anfertigen.
  2. Für die gesuchte Größe eine Variable anlegen.
  3. Eine Gleichung, die den Sachverhalt beschreibt aufstellen.
  4. Die Gleichung mit entsprechenden Verfahren lösen.
  5. Die Lösung durch einsetzen in die Gleichung überprüfen.
  6. Einen aussagekräftigen Antwortsatz schreiben.

Auf dieser Seite werden Sachaufgaben oder auch Textaufgaben behandelt, deren Mathematisierung auf lineare Gleichungen führen.

  Beispiel 1: Zahl wird gesucht
  Das zehnfache einer Zahl vermindert um 10 ist gleich dem sechsfachen der Zahl vermehrt um 2.
Wie heißt die Zahl?

Ansatz:
Die gesuchte Zahl sei x, das zehnfache davon ist 10x.
Vermindert um 10 bedeutet 10 abziehen.
Vermehrt um zwei bedeutet zwei dazuzählen.
Mit diesem Ansatz lässt sich die Gleichung aufstellen.

f_1710

Antwort:
Die gesuchte Zahl lautet 3

  Beispiel 2: Altersbestimmung von Vater und Sohn
  Ein Vater ist 38 Jahre alt, sein Sohn 11 Jahre.
Nach wie viel Jahren ist der Vater doppelt so alt wie der Sohn?

Ansatz:
Die Variable x ist die Anzahl der Jahre, bis der Vater doppelt so alt ist wie sein Sohn.
Es ist zu berücksichtigen, dass der Sohn dann auch x Jahre älter geworden ist.
Das führt zu folgender Gleichung:

f_1711

Antwort:
Nach 16 Jahren ist der Vater doppelt so alt wie der Sohn. (Vater 54 Jahre, Sohn 27 Jahre)

  Beispiel 3: Streckenlänge einer Radtour
  Ein Radfahrer fährt auf einer zweitägigen Radtour
am 1. Tag 1/5 der Strecke zuzüglich 60 km
am 2. Tag 1/4 der Strecke zuzüglich 50 km
aber an beiden Tagen gleich viel km
Wie viel km muss der Radfahrer insgesamt zurücklegen?

Ansatz:
Die Variable x steht für die gesamte Strecke, die der Radfahrer in zwei Tagen zurücklegt.
Daraus folgt die Gleichung:

f_1712

Antwort:
Insgesamt muss der Radfahrer 200 km zurücklegen.

  Beispiel 4: Leistung von Streufahrzeugen
  Drei Streufahrzeuge A, B und C haben in einer Nacht 360 km Autobahn gestreut, A doppelt soviel wie B und C 40 km weniger als A.
Wie viel km Autobahn hat jedes Streufahrzeug abgestreut?

Ansatz:
Drei Streufahrzeuge A, B und C haben in einer Nacht 360 km Autobahn gestreut:
A + B + C = 360
A hat doppelt soviel gestreut wie B:
A = 2B
C hat 40 km weniger gestreut als A
C = A - 40 oder C = 2B - 40
Damit wird B als Variable gewählt und folgende Gleichung aufgestellt:

f_1713

Antwort:
Gestreut haben: B = 80 km, A = 160 km, C = 120 km.
Bemerkung zur Wahl der Bezeichnung der Variablen.
In den meisten Fällen ist x die Unbekannte. Man darf aber auch andere Bezeichnungen, wie z. B. den Buchstaben B für die Variable wählen.

  Beispiel 5: Länge einer Teilstrecke
  Ein Radweg ist 4000 m lang. Er führt durch eine Kurve, auf einen Hügel und über eine Brücke. Der Hügel ist 28 mal so lang und die Kurve ist 11 mal so lang wie die Brücke.
Wie lang ist die Brücke?

Ansatz:
Die Variable x beschreibt die Länge der Brücke. Da sich alle Weglängen auf die Brücke beziehen, setzten sich die 4000 m aus 28 mal Brücke plus 11 mal Brücke plus 1 mal Brücke zusammen. Daraus ergibt sich die Gleichung:

f_1714

Antwort: Die Brücke ist 100 m lang.

  Beispiel 6: Zwei Autos treffen sich
  Zwei Oberstufenschüler fahren täglich mit ihren Autos vom gleichen Ort aus zum Berufskolleg.
A legt pro Stunde durchschnittlich 60 km zurück, B 45 km.
Wie viel Minuten nach Aufbruch von Schüler B werden sie sich treffen, wenn B fünf Minuten früher losfährt als A?

Ansatz:
f_1715

Antwort:
Die Fahrzeit von Schüler A beträgt 15 Minuten, die von Schüler B 20 Minuten, da er 5 Minuten früher losgefahren ist.

  Beispiel 7: Ein Wasserbehälter hat Zu- und Abfluss
  Ein Wasserbehälter hat zwei Zuflussröhren A und B und eine Abflussröhre C.
A allein füllt den Behälter in 90 min, B allein in 60 min, und durch C allein kann der Behälter in 45 min entleert werden.
In welcher Zeit (Stunden) ist der Behälter gefüllt, wenn alle Rohre zur gleichen Zeit in Tätigkeit sind?

Ansatz:
A allein füllt den Behälter in 1 Minute 1/90
B allein füllt den Behälter in 1 Minute 1/60
C allein leert den Behälter in 1 Minute 1/45
A + B - C füllen den Behälter in 1 Minute 1/90 + 1/60 - 1/45
A + B - C füllen in x Minuten den ganzen Behälter.
Mit der Variablen x wird die Gleichung aufgestellt:

f_1716

Antwort: Der Behälter wird in 3 Stunden gefüllt.

  Beispiel 8: Zwei Autos fahren sich entgegen
  Zwei Wagen (Ferrari und BMW) starten gleichzeitig in Duisburg und Berlin und fahren einander entgegen. Der Ferrari fährt im Schnitt 160 km/h, der BMW 140 km/h. Die Entfernung Duisburg - Berlin beträgt 600 km.
Nach welcher Zeit begegnen sie sich?
Wie weit ist der Treffpunkt von Duisburg entfernt?

Ansatz:
Bei gleichzeitigem Start beider Wagen sind sie am Treffpunkt gleichlang unterwegs.
Der Ferrari hat die Strecke sF = vF mal t zurückgelegt.
Der BMW hat die Strecke sB = vB mal t zurückgelegt.
Die Addition beider Strecken ist die Entfernung Duisburg Berlin.

f_1717

Antwort:
Nach 2 Stunden begegnen sich die Fahrer. Der Ferrari ist dann 320 km von Duisburg und 280 km von Berlin entfernt.

  Beispiel 9: Drei Kinder verputzen einen Schokoladenpudding
  Beim Kindergeburtstag machen sich der 4 jährige Darius, die 10 jährige Luise und der 14 jährige Till gemeinsam über eine Schüssel Schokoladenpudding her.
Darius würde allein in 36 Minuten die Schüssel leeren können.
Luise würde allein in 18 Minuten die Schüssel leeren können.
Till würde allein in 6 Minuten die Schüssel leeren können.
Wie lange dauert es, bis die drei die Schüssel gemeinsam geleert haben?

Ansatz:
Alle drei zusammen brauchen x Minuten.
Dabei werden die Anteile wie folgt verteilt:

f_1718

Antwort:
In 4 Minuten haben die drei Leckermäuler den Schokoladenpudding verputzt.