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Vom unbestimmten
zum bestimmten Integral
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Vorbetrachtungen

Wir haben gesehen, wenn zu einer Funktion f(x) eine Stammfunktion F(x) ermittelt werden kann, so existieren unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur durch eine additive Konstante C voneinander unterscheiden.

Beispiel f_0706

Definition f_0707

Der Zusammenhang zwischen der Differenzial - und Integralrechnung kann durch folgenden Satz beschrieben werden:

Satz f_0708

Zur Flächenberechnung

 
Die Fläche unter dem Funktionsgraphenzwischen den Intervallgrenzen [ a ; b ] soll bestimmt werden.

Dazu wenden wir die bisherigen Erkenntnisse auf unser Problem an.
mc_119

 
Die Überlegungen bezüglich der Existenz einer Flächenfunktion führten zu folgender Erkenntnis:

Es besteht eine Beziehung zwischen der Fläche unter dem Funktionsgraphen der betrachteten Funktion f(x) bis zur Stelle x0 und einer Funktion F(x) in der die Ableitung der Funktion F(x) an der Stelle x0 gleich dem Funktionswert der Funktion f an der Stelle x0 ist.
mc_120
f_0709

 
mc_121 mc_122

 
Die Fläche zwischen den Intervallgrenzen [ a ; b ] lässt sich ermitteln aus der Differenz der Fläche unter dem Funktionsgraphen an der Stelle
f_0710
mc_123

Satz f_0711

Jetzt versuchen wir mit den bisherigen Erkenntnissen die Fläche der Wiese aus dem Einführungsbeispiel zu berechnen.

 
mc_124 f_0712

Die Konstante fällt bei der Subtraktion heraus. In der Praxis hat sich für die Lösung dieses Problems eine andere Schreibweise bewährt:
f_0713

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Numerische Berechnung eines bestimmten Integrals.
Nach der Berechnung wird der Funktionsgraph mit der Fläche unter dem Graphen entsprechend der eingegebenen Grenzen angezeigt.