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Aufstellen der Funktionsgleichung
aus gegebenen Bedingungen
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Aufstellen der Funktionsgleichung

Wir erinnern uns, um die Funktionsgleichung einer Parabel zu bestimmen waren die Koordinaten von drei Punkten nötig um die Koeffizienten a2 , a1 und a0 zu bestimmen.
siehe hier

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Parabel durch drei Punkte

Die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades lautet:
f_0366

Allgemein lässt sich feststellen, das man für eine Ganzrationale Funktion n - ten Grades n + 1 Bedingungen und damit n + 1 Bestimmungsgleichungen benötigt.

Gr. Fkt. 3. Grades durch 4 Punkte

Die Koordinaten von 4 Punkten, die auf dem Funktionsgraphen liegen sollen, sind wie folgt vorgegeben:

P1( -1 | 2 ) ; P2( 2 | -1) ; P3( -3 | 44 ) und P4( 1 | 0 ).

Zunächst wird das Gleichungssystem für die gegebenen Punkte aufgestellt.

f_0367

 
Lösung des Gleichungssystems mit dem Gauß - Algorithmus.
f_0368
Bestimmen der Koeffizienten durchRückwärtseinsetzen:
f_0369

Training :
Ganzrationale Funktionen durch 4 Punkte

Finden Sie die Funktionsgleichung und zeichnen Sie den Graphen. Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte und fehlende Werte mit dem Horner-Schema
1. 01 Ergebnis
2. 02 Ergebnis
3. 03 Ergebnis
4. 04 Ergebnis
5. 05 Ergebnis
6. 06 Ergebnis
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8. 08 Ergebnis
9. 09 Ergebnis
10. 10 Ergebnis
 

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Ganzrationale Funktion 3. Grades durch 4 Punkte
Nach der Vorgabe 4 beliebiger Punkte wird die Funktionsgleichung berechnet, der Graph kann gezeichnet werden.

Gr. Fkt. 4. Grades durch 5 Punkte

Die Koordinaten von 5 Punkten, die auf dem Funktionsgraphen liegen sollen, sind wie folgt vorgegeben:

P1( -2 | 2 ) ; P2( -1 | 0) ; P3( 1 | 0 ) ; P4( 2 | 2 ) und P5( 3 | 3 ).

Zunächst wird das Gleichungssystem für die gegebenen Punkte aufgestellt.

f_0370

Lösung mittels Gauss - Algorithmus:
f_0371

Der Funktionsgraph kann über eine Wertetabelle ermittelt werden und hat folgenden Verlauf:

mc_066

Sind weitere Eigenschaften über den Funktionsgraphen bekannt, so kann die Anzahl der Bestimmungsgleichungen reduziert werden.

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Ganzrationale Funktion 4. Grades durch 5 Punkte
Nach der Vorgabe 5 beliebiger Punkte wird die Funktionsgleichung berechnet, der Graph kann gezeichnet werden.

Gr. Fkt. 3. Grades punktsymmetrisch durch 2 Punkte

f_0372

Wegen der Punktsymmetrie besteht die Funktionsgleichung nur aus Summanden mit ungeraden Exponenten.

f_0373

Gr. Fkt. 4. Grades durch ( 0 | 0 ) und 4 Punkte

Die Koordinaten von 4 Punkten sind gegeben. Der 5. Punkt ist der Ursprung. Dadurch entstehen 4 Bestimmungsgleichungen.

f_0374

Gr. Fkt. 4. Grades achsensymmetrisch durch 3 Punkte

f_0375

Vorgabe aller Nullstellen und eines Punktes

Ganzrationale Funktion 3. Grades
f_0376

Ganzrationale Funktion 4. Grades
f_0377

Training :
Ganzrationale Funktionen aus gegebenen Bedingungen

Finden Sie die Funktionsgleichung und skizzieren Sie den Graphen.
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3. 03 Ergebnis
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Ganzrationale Funktion 3. Grades durch 4 Punkte
Nach der Vorgabe 4 beliebiger Punkte wird die Funktionsgleichung berechnet, der Graph kann gezeichnet werden.

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Ganzrationale Funktion 4. Grades durch 5 Punkte
Nach der Vorgabe 5 beliebiger Punkte wird die Funktionsgleichung berechnet, der Graph kann gezeichnet werden.