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Achsenschnittpunkte
und Nullstellenberechnung
zm_063
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Achsenschnittpunkte ganzrationaler Funktionen

f_0353

  Beispiel:
  f_0354

Die y - Koordinate von Py ist immer identisch mit dem Koeffizienten a0.
Sie lässt sich stets aus der Funktionsgleichung ablesen.

f_0355

Von den quadratischen Funktionen (ganzrationale Funktionen 2. Grades) ist bekannt, dass sie zwei, eine oder keine Nullstelle haben können. Wie ist das nun bei ganzrationalen Funktionen höheren Grades?

  Beispiele:
 
mc_061
f_0356
mc_062
f_0357
mc_063
f_0358
mc_064
f_0359

Satz Eine ganzrationale Funktion n ten Grades hat höchstens n Nullstellen.
Ist der Grad n ungerade, so hat sie mindestens eine Nullstelle.

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Plotter für ganzrationale Funktionen 4. Grades
Geben Sie die Koeffizienten obiger Funktionen ein und verändern Sie diese geringfügig. Beobachten Sie dabei die Veränderungen am Graphen.

Bevor einige gängige Verfahren zur Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen behandelt werden, ist es hilfreich, sich zunächst etwas mit Polynomgleichungen zu beschäftigen. Man unterscheidet mehrere Varianten von Polynomgleichungen, für die es unterschiedliche Lösungsverfahren gibt.

Polynomgleichungen

 
Variante 1 In der Gleichung kommt nur eine einzige Potenz der Variablen x vor.
f_1922
Falls n ungerade ist, darf der Radikand auch negativ sein.
Es gibt genau eine Lösung der Wurzel.
Falls n gerade ist, darf der Radikand nur positiv sein.
Es gibt zwei Lösungen. Beispiel

 
Variante 2 Die Polynomgleichung stellt eine quadratische Gleichung dar.
f_1923 p-q-Formel
Diese lässt sich mithilfe der p-q-Formel berechnen. Beispiel

 
Variante 3 Die Polynomgleichung stellt eine biquadratische Gleichung dar.
f_1924 Lösung einer biquadratischen Gleichung
Die Substitutionsvariable z lässt sich mithilfe der p-q-Formel berechnen.
Anschließend muss zurücksubstituiert und die Wurzel gezogen werden. Beispiel

 
Variante 4 In der Polynomgleichung kommt kein absolutes Glied vor.
f_1925 Faktorisierungsverfahren
Die Variable x lässt sich ausklammern.
Lösungen werden nach dem Satz vom Nullprodukt berechnet (Faktorisierungsverfahren). Beispiel

 
Variante 5 Die Polynomgleichung entspricht nicht einer der Varianten 1 bis 4.
f_1926
In vielen Fällen lässt sich die Lösung durch die Polynomdivision finden.
Dazu muss aber eine Lösung bekannt sein. Beispiel

Berechnungsverfahren für Nullstellen

Faktorisierungsverfahren:

f_0360

Substitutionsverfahren:

f_0361

Polynomdivision:
Ist eine Nullstelle einer ganzrationalen Funktion (Polynom) bekannt, dann kann der Grad des Polynoms durch Polynomdivision um eins verringert werden. Wenn das auf eine quadratische Gleichung führt, ist es ein leichtes, die weiteren Nullstellen zu finden. Folgendes Beispiel soll das Verfahren der Polynomdivision verdeutlichen.

f_0362

f_0940

Horner- Schema:
Statt über die Polynomdivision kann der Grad einer ganzrationalen Funktion auch durch Anwendung des Horner- Schemas verringert werden.
Wir betrachten wieder die Funktion:
f_1406
Für die Berechnung weiterer Nullstellen von f (x) sind die Nullstellen des Restpolynoms zu bestimmen. Das geschieht durch Lösung der entsprechenden quadratischen Gleichung. Ergebnis siehe Beispiel mit Polynomdivision.

 
film02 Video Von OberPrima Hornerschema statt Polynomdivision:
Hierzu gibt Olaf Hinrichsen in einem Video auf seiner sehenswerten Webseite
http://oberprima.com ausführliche Informationen.

  Beispiel:
  f_1407

  Beispiel:
  f_1408

Wie die Beispiele zeigen, ist die Bestimmung des Restpolynoms mit dem Horner- Schema einfacher als mit der Polynomdivision.

Alle oben gezeigten Verfahren führen auf die Lösung einer quadratischen Gleichung. Falls dieses nicht gelingt, so werden numerische Verfahren benötigt, die an dieser Stelle nicht behandelt werden.

Training:
Polynomdivision..

Führen Sie für folgende Terme die Polynomdivision durch.
1. 01 Ergebnis 2. 02 Ergebnis
3. 03 Ergebnis 4. 04 Ergebnis
5. 05 Ergebnis 6. 06 Ergebnis
7. 07 Ergebnis 8. 08 Ergebnis
9. 09 Ergebnis 10. 10 Ergebnis
 

Training:
Nullstellen ganzrationaler Funktionen.

Berechnen Sie mit einem Ihnen geeignetem Verfahren die Nullstellen folgender ganzrationaler Funktionen. Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen mit der x - Achse und stellen Sie die Funktionsgleichung als Produkt aus Linearfaktoren dar.
1. 01 Ergebnis 2. 02 Ergebnis
3. 03 Ergebnis 4. 04 Ergebnis
5. 05 Ergebnis 6. 06 Ergebnis
7. 07 Ergebnis 8. 08 Ergebnis
9. 09 Ergebnis 10. 10 Ergebnis
Ausführliche Beispiele

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Nullstellenfinder
Mit diesem JavaScript lassen sich Nullstellen von Polynomen bis 9. Grades bestimmen.
Der Funktionsgraph wird gezeichnet.

  Applet  
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Iterationsverfahren
Hilfsmittel zum Auffinden der ersten Nullstelle.

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Lösungsverfahren von Polynomgleichungen
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