Achsenschnittpunkte ganzrationaler Funktionen

	Beispiel:

Die y - Koordinate von P_y ist immer identisch mit dem Koeffizienten a₀.
Sie lässt sich stets aus der Funktionsgleichung ablesen.

Von den quadratischen Funktionen (ganzrationale Funktionen 2. Grades) ist bekannt, dass sie zwei, eine oder keine Nullstelle haben können. Wie ist das nun bei ganzrationalen Funktionen höheren Grades?

	Beispiele:

Satz	Eine ganzrationale Funktion n ten Grades hat höchstens n Nullstellen. Ist der Grad n ungerade, so hat sie mindestens eine Nullstelle.

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Plotter für ganzrationale Funktionen 4. Grades Geben Sie die Koeffizienten obiger Funktionen ein und verändern Sie diese geringfügig. Beobachten Sie dabei die Veränderungen am Graphen.

Berechnungsverfahren für Nullstellen

Faktorisierungsverfahren:

Substitutionsverfahren:

Polynomdivision:
Ist eine Nullstelle einer ganzrationalen Funktion (Polynom) bekannt, dann kann der Grad des Polynoms durch Polynomdivision um eins verringert werden. Wenn das auf eine quadratische Gleichung führt, ist es ein leichtes, die weiteren Nullstellen zu finden. Folgendes Beispiel soll das Verfahren der Polynomdivision verdeutlichen.

Horner- Schema:
Statt über die Polynomdivision kann der Grad einer ganzrationalen Funktion auch durch Anwendung des Horner- Schemas verringert werden.
Wir betrachten wieder die Funktion:

Für die Berechnung weiterer Nullstellen von f (x) sind die Nullstellen des Restpolynoms zu bestimmen. Das geschieht durch Lösung der entsprechenden quadratischen Gleichung. Ergebnis siehe Beispiel mit Polynomdivision.

Video Von OberPrima Hornerschema statt Polynomdivision: Hierzu gibt Olaf Hinrichsen in einem Video auf seiner sehenswerten Webseite http://oberprima.com ausführliche Informationen.

	Beispiel:

	Beispiel:

Wie die Beispiele zeigen, ist die Bestimmung des Restpolynoms mit dem Horner- Schema einfacher als mit der Polynomdivision.

Alle oben gezeigten Verfahren führen auf die Lösung einer quadratischen Gleichung. Falls dieses nicht gelingt, so werden numerische Verfahren benötigt, die an dieser Stelle nicht behandelt werden.

Training:

Polynomdivision.. Führen Sie für folgende Terme die Polynomdivision durch. 1. Ergebnis 2. Ergebnis 3. Ergebnis 4. Ergebnis 5. Ergebnis 6. Ergebnis 7. Ergebnis 8. Ergebnis 9. Ergebnis 10. Ergebnis

Training:

Nullstellen ganzrationaler Funktionen. Berechnen Sie mit einem Ihnen geeignetem Verfahren die Nullstellen folgender ganzrationaler Funktionen. Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen mit der x - Achse und stellen Sie die Funktionsgleichung als Produkt aus Linearfaktoren dar. 1. Ergebnis 2. Ergebnis 3. Ergebnis 4. Ergebnis 5. Ergebnis 6. Ergebnis 7. Ergebnis 8. Ergebnis 9. Ergebnis 10. Ergebnis Ausführliche Beispiele

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Nullstellenfinder Mit diesem JavaScript lassen sich Nullstellen von Polynomen bis 9. Grades bestimmen. Der Funktionsgraph wird gezeichnet.

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Iterationsverfahren Hilfsmittel zum Auffinden der ersten Nullstelle.

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Lösungsverfahren von Polynomgleichungen Prüfen Sie Ihr Wissen