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Symmetrie und Verlauf
ganzrationaler Funktionen
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Ganzrationale Funktionen n - ten Grades

   
  f_0138

Ganzrationale Funktionen entstehen durch Zusammensetzen von Potenzfunktionen.

  Beispiele:
 
mc_057
f_0383
mc_058
f_0384
mc_059
f_0385
mc_060
f_0386

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Plotter für ganzrationale Funktionen 4. Grades
Zeichnen Sie mit dem Script selber Graphen ganzrationaler Funktionen.

Verlauf des Graphen

Satz Der Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion wird durch den Summanden mit der höchsten Potenz bestimmt.

 
  n gerade n ungerade
an>0 Verlauf von II nach I Verlauf von III nach I
an<0 Verlauf von III nach IV Verlauf von II nach IV

  Beispiele:
  f_0352

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Achsen - oder Punktsymmetrie
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Symmetrie

Die Vermutung liegt nahe, dass Funktionen, die nur aus Potenzfunktionen mit geraden Exponenten zusammengesetzt sind, achsensymmetrisch sind und Funktionen, die nur aus Potenzen mit ungeraden Exponenten zusammengesetzt sind, punktsymmetrisch sind.

Satz Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn deren Funktionsgleichung nur gerade Exponenten enthält.
Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn deren Funktionsgleichung nur ungerade Exponenten enthält.

  Beispiel:
  f_0351
   
 
mc_069
f_0387
mc_070
f_0388

Training:
Eigenschaften ganzrationaler Funktionen.

Machen Sie eine Aussage über die Symmetrieeigenschaften, den Verlauf und die Anzahl der Nullstellen folgender ganzrationaler Funktionen.
1. 01 Ergebnis 2. 02 Ergebnis
3. 03 Ergebnis 4. 04 Ergebnis
5. 05 Ergebnis 6. 06 Ergebnis
7. 07 Ergebnis 8. 08 Ergebnis
9. 09 Ergebnis 10. 10 Ergebnis
 

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Plotter für ganzrationale Funktionen bis 9. Grades
Nach Eingabe der Koeffizienten der Funktionsgleichung, kann der Graph der Funktion gezeichnet werden.

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Verlauf und Symmetrie ganzrationaler Funktionen
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Symmetrie zu einem beliebigen Punkt

Wird der Graph einer punktsymmetrischen Funktion beliebig verschoben, so geht die Symmetrie zum Ursprung, wir nannten sie Punktsymmetrie verloren. In Bezug auf den Zielpunkt der Verschiebung bleibt sie jedoch erhalten.

  Beispiel:
  f_0380

   
 
mc_067
f_0389
mc_068
f_0390

Das Ergebnis leuchtet sofort ein, denn eine Verschiebung des Graphen oder die Verschiebung des Koordinatensystems hat auf die Form des Graphen keinen Einfluss. Lediglich die Funktionsgleichung hat sich geändert.

  Fallbeispiel:
  Es soll überprüft werden, ob der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades zu einem bestimmten Punkt punktsymmetrisch ist.

  Vorbetrachtung
 
des_038 f_0381

Mit dieser Vorschrift lässt sich stets der bei einer Spiegelung an P0 zu P1 gehörige Spiegelpunkt P1' bestimmen.

  Beispiel:
  f_0382

Falls der Spiegelpunkt nicht auf dem Graphen liegt, ist der Graph nicht punktsymmetrisch zu P0.