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Aufstellen der Funktionsgleichung
aus gegebenen Bedingungen
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Vorgabe von drei Punkten

Drei unterschiedliche Punkte, die alle auf einer Parabel liegen sollen sind gegeben.
Daraus soll die Funktionsgleichung der Parabel bestimmt werden.
f_0249

Zur Bestimmung der Funktionsgleichung müssen für die allgemeinen Koeffizienten a2, a1 und a0 die entsprechenden Zahlenkomponenten bestimmt werden.
Da alle drei gegebenen Punkte P1 , P2 und P3 Punkte der zu bestimmenden Parabel sind, kann durch dreimaliges Einsetzen der Koordinaten dieser Punkte an den Stellen x und y der allgemeinen Funktionsgleichung ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten erzeugt werden, aus denen sich die Koeffizienten a0, a1 und a2 bestimmen lassen.

  Aufstellen des Gleichungssystems:
 
f_0250 Das ist ein Gleichungssystem bestehend aus drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten.
Mit dem Additionsverfahren lässt sich die Lösung finden.

  Additionsverfahren:
 
f_0251

Das Additionsverfahren lässt sich schematisieren. Das führt zum Gauß - Algorithmus.
Beim Gauß - Algorithmus rechnet man nur mit den Koeffizienten.

  Gauß-Algorithmus:
 
f_0252 Beim Gauß - Algorithmus wird zeilenweise gearbeitet.

Zeilen darf man:
- vertauschen
- mit einer Zahl multiplizieren
- durch eine Zahl dividieren
- addieren
- subtrahieren

Werden die Spalten vertauscht,dann müssen auch die Koeffizienten mitgenommen werden.

Das Ziel ist es auf eine Dreiecksform zu kommen.
f_0253

  Der Funktionsgraph:
 
mc_044 Um die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion zu erhalten sind drei Punkte nötig.

Wir erinnern uns:
Bei einer linearen Funktion(Gerade) waren es nur zwei Punkte.

Um den Graphen einer Parabel sauber zeichnen zu können, sind außer den vorgegebenen drei Punkten noch der Scheitelpunkt und die Achsenschnittpunkte nötig.

Wenn wir zudem auch noch die Symmetrie zur Senkrechten durch den Scheitelpunkt berücksichtigen, benötigen wir in den meisten Fällen keine weiteren Punkte.

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Parabel durch drei Punkte
Überprüfen Sie das Ergebnis.

Sonderfälle bei Parabeln

In einigen Fällen können wir die Funktionsgleichung mit weniger Angaben bestimmen.

  Beispiel:
  f_0254
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x) und zeichnen Sie den Graphen.
f_0255 mc_045

  Beispiel:
  f_0256
f_0257 mc_046

Aus der Angabe, dass der Größte Funktionswert 3 ist, kann man schließen, das die Parabel nach unten geöffnet ist. Was die Rechnung auch bestätigt.

  Beispiel:
  f_0258
Bestimmen Sie den Funktionsterm und zeichnen Sie den Graphen.
f_0259 mc_047

Anwendungsbeispiel

Der Parabelförmige Bogen einer Brücke mit der Spannweite 40 m hat eine maximale Höhe von 10 m.
Berechnen Sie die Längen der 7 in gleichen Abständen vertikal angebrachten Spannstäbe.

des_032

  Modellierung:
 
des_033 Wird das Koordinatensystem so gewählt, dann sind folgende Punkte bekannt.

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  Lösung:
 
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