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Lösung alltäglicher Probleme
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Beispiel I

  Tobias und Mario arbeiten als Krankenpfleger in einer Rehabilitationsklinik und beziehen das gleiche Grundgehalt. Zur Zeit müssen beide viel Überstunden leisten. Am Monatsende vergleichen sie ihre Gehaltsabrechnungen. Der Bruttolohn von Tobias beträgt 3559 €, der von Mario 3223 €. Tobias hat im laufenden Monat 43 Überstunden, Mario dagegen nur 27 Überstunden geleistet. Berechnen Sie das Grundgehalt und die Überstundenpauschale.

Anzahl der Überstunden: x           Ausgezahlter Bruttolohn f(x)

Gegeben sind zwei Wertepaare:
f_1541
Das Grundgehalt beträgt 2656 €, die Überstundenpauschale 21 €.

Beispiel II

 
Ein Energieversorgungsunternehmen bietet seinen Kunden zu folgenden Bedingungen Strom an:
Eine kWh kostet 0,14 € bei einer monatlichen Grundgebühr von 7,50 €.
a) Stellen Sie einen Funktionsterm auf.
Zeichnen Sie den Graphen für die Abnahme bis zu 200 kWh in eingeeignetes Koordinatensystem.
b) Die Stromrechnung für 4 Monate beläuft sich auf 150,40 €.
Wie viel kWh wurden bezogen?
c) Ein Zweitanbieter verkauft Strom für 0,10 € pro kWh bei einer monatlichenGrundgebühr von 10 €.
Ab welcher Abnahme lohnt sich der Wechsel des Stromanbieters?
Lösung:
a) f_1543
Bemerkung:
Die Rechnung erfolgt ohne Einheiten, diese werden den jeweiligen Ergebnissen angefügt.
mc_230
b) f_1544
c) f_1545
Bei einem monatlichen Energiebezugvon mehr als 62,5 kWh ist Anbieter II günstiger als Anbieter I.
mc_231

Beispiel III

 
Zur Versorgung der Futterautomaten im Zoo "Koalabär" benötigt der Tierpfleger täglich 7,5 kg Tierfutter. Zwölf Tage, nachdem das Futterlager zum letzten Mal aufgefüllt wurde, befinden sich dort noch 250 kg.
a) Stellen Sie eine Funktionsgleichung auf, die diesen Sachverhalt beschreibt.
b) Auf welche Menge wurde das Futterlager vor zwölf Tagen aufgefüllt?
c) Bei einem Lagerbestand von 50 kg wird der Bestand wieder auf die unter b) berechnete Menge aufgestockt. Wann ist das erforderlich?
Lösung:
a) x- Achse: Zeit in Tagen            y- Achse: Futterbestand in kg
f_1542
b) Der Auffüllzeitpunkt liegt bei x = 0.
f_1546
Der Futterbestand wurde vor 12 Tagen auf 340 kg aufgefüllt.
c) f_1547
Nach etwa 38,7 Tagen ist das Futterlager wieder aufzufüllen.

Beispiel IV

 
Der Telefondienst "Handybillig" (HB) bietet an:
Jede Gesprächsminute kostet 0,06 €, bei einer monatlichen Grundgebühr von 8,50 €.
Die Konditionen von "Handypreiswert" (HP) lauten:
Jede Gesprächsminute kostet 0,08 €, bei einer monatlichen Grundgebühr von 5 €.
(Fertigen Sie eine Skizze an)
a) Bei wie viel Minuten sind die Kosten bei beiden gleich?
b) Ihnen stehen 25 € monatlich zum Telefonieren zur Verfügung (Oma zahlt).
Welchen Dienst wählen Sie und wie lange können Sie bei dem gewählten Anbieter telefonieren?
c) Stellen Sie die Ergebnisse von a) und b) im Koordinatensystem dar.
Lösung:
a) f_1548
Nach 175 Minuten herrscht Kostengleichheit (19 €).
b) f_1549
Der Dienst von HB ist günstig, denn für 25 € kann man 275 Minuten telefonieren.
Hingegen reichen bei HP die 25 € nur für 250 Minuten.
c) mc_232

Beispiel V

 
Ein Betrieb kann täglich maximal 1500 Kühlschränke herstellen (Kapazitätsgrenze).
Die fixen Kosten Kf betragen 90000 €.
Die variablen Stückkosten sind konstant und betragen kv = 300 €.
Die Kühlschränke werden zu einem Preis von je 375 € verkauft.
a) Ermitteln Sie die Kostenfunktion K(x), die Erlösfunktion E(x) und die Gewinnfunktion G(x) für den Betrieb.
b) Bei welcher Ausbringungsmenge wird die Gewinnschwelle erreicht?
Wie hoch sind an dieser Stelle die Gesamtkosten bzw. der Erlös?
c) Wie groß ist der Gewinn an der Kapazitätsgrenze?
Lösung:
a) f_1551
b) Die Gewinnschwelle ist die Stelle, an der kein Gewinn gemacht wird.
f_1552
Ab einer täglichen Ausbringungsmenge von 1200 macht der Betrieb Gewinn.
An der Gewinnschwelle sind die Kosten genau so hoch wie der Erlös (450 000 €).
c) f_1553
An der Kapazitätsgrenze beträgt der Gewinn 22 500 €.

Beispiel VI

 
Armin sieht sich die Tarife des Telefonanbieters "Billigsurf" an.
Tarif A:
Grundgebühr 5 € / Monat die ersten 10 Stunden frei, dann 0,5 Ct. / min.
Tarif B:
Grundgebühr 10 € / Monat die ersten 20 Stunden frei, dann 0,4 Ct. / min.
Tarif C:
Flatrate 25 € / Monat.
Durchschnittlich surft Armin zweieinhalb Stunden täglich.
a) Stellen Sie für jeden Tarif die Funktionsgleichung auf.
b) Zeichnen Sie die Funktionsgraphen in ein geeignetes Koordinatensystem.
c) Erklären Sie, was alles aus den Graphen ablesbar ist (Interpretation).
d) Berechnen Sie den günstigsten Tarif für Armin.
e) In welchem Punkt herrscht Kostengleichheit für Tarif A und B?
f) Ab welcher Surfzeit sollte Armin die Flatrate wählen?
Lösung:
a) des_179

f_1550

f_1554
b) mc_233
c) Bei etwa 53 Stunden schneiden sich beide Geraden, in dem Punkt herrscht Kostengleichheit.
Bis etwa 53 Stunden ist Tarif A der günstigste. Zwischen etwa 53 und 82 Stunden ist Tarif B der günstigste. Ab etwa 82 Stunden lohnt sich die Flatrate.
d) Armin surft etwa 75 Stunden im Monat. Für ihn wäre bei dieser Surfdauer Tarif B der günstigste. Eine Rechnung soll das belegen:
f_1555
e) Kostengleichheit für Tarif A und B ist im Schnittpunkt beider Geraden zu finden.
f_1588
Kostengleichheit herrscht bei einer Surfzeit von 53 h und 20 min. Die für diese Zeit anfallenden Kosten betragen für beide Tarife 18 €.
f) Aus den Graphen ist abzulesen, dass der Schnittpunkt von KB (x) mit F (x) den Punkt markiert, ab dem für längere Surfzeiten die Flatrate günstiger ist als Tarif B.
f_1589
Ab einer Surfdauer von 82,5 Stunden monatlich, sollte man auf die Flatrate umstellen.