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Lage zweier Geraden zueinander zm_052 word pdf

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Schnittpunkt zweier Geraden

Ein Gleichungssystem aus zwei linearen Gleichungen hat bekanntlich entweder eine, keine oder unendlich viele Lösungen.
Was aber hat das mit der Lage zweier Geraden zueinander zu tun?
Ein Fallbeispiel soll zur Klärung dienen.

Beispiel Ein Ökokühlschrank (1) kostet 400 € und hat monatliche Energiekosten von 20 €.
Ein Billigkühlschrank (2) kostet 200 € und hat monatliche Energiekosten von 40 €.
Nach welcher Zeit hat sich der in der Anschaffung teuere Ökokühlschrankbezahlt gemacht (sich amortisiert)?

Die Funktionsgleichungen für die Kostenentwicklung lauten:
Für den Ökokühlschrank:
f_1520
Für den Billigkühlschrank:
f_1521
Der in der Anschaffung teuere Ökokühlschrank hat sich dann amortisiert, wenn die Gesamtkosten (Anschaffungskosten und Energiekosten) gleich, bzw. geringer sind als die des Billigkühlschrankes.
f_1522
f_1523 des_171
Ergebnis: Das Gleichungssystem
f_1524
wurde durch das Gleichsetzungsverfahren gelöst.
Der Wert x = 10 bedeutet, nach 10 Monaten hat sich der Ökokühlschrank amortisiert.
Der Wert y = 600 bedeutet, für beide Kühlschränke sind nach 10 Monaten die gleichen Kosten entstanden ( 600 € ).
Ab jetzt sind die Gesamtkosten für den Ökokühlschrank geringer.

Um den Schnittpunkt zweier Geraden zu bestimmen ist stets ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen zu lösen.

Beispiel  
f_1525

Die Lösung führt auf einen Widerspruch.
Das bedeutet, das Gleichungssystem hat keine Lösung.
f_1526
mc_229

Die Funktionsgleichung g(x) entsteht aus f(x) durch Verschiebung um drei Einheiten nach unten.
Das bedeutet, der Graph von g(x) ist parallel zu dem von f(x).
Zwei parallele Gerade haben offensichtlich keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

Beispiel f_1527

Beide Geraden haben unendlich viele gemeinsame Punkte, sie liegen aufeinander, sind identisch.

Fassen wir die bisherigen Ergebnisse zusammen.
Um den Schnittpunkt zweier Geraden zu bestimmen, sind deren Funktionsgleichungen, die ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen bilden, zu lösen.
Das kann mit dem Gleichsetzungsverfahren geschehen.

Merke Hat f(x) = g(x) genau eine Lösung, dann schneiden sich die Graphen von f und g in einem Punkt. Die Geraden haben unterschiedliche Steigungen.

Hat f(x) = g(x) keine Lösung, dann haben beide Geraden keinen gemeinsamen Punkt. Sie verlaufen parallel zueinander.

Hat f(x) = g(x) unendlich viele Lösungen, dann sind beide Geraden identisch.

 
Genau eine Lösung
des_172
Keine Lösung
des_173
Unendlich viele Lösungen
des_174

Rechtwinklig zueinander verlaufende Geraden

Ermittelt man die Steigung von zwei sich rechtwinklig schneidenden Geraden, so ist zu vermuten, dass es zwischen den Steigungen beider Geraden einen Zusammenhang gibt.

 
Vorübung:

Zeichnen Sie den Graphen der Funktion
f_1528
in ein Koordinatensystem.
Zeichnen Sie zu diesem Graphen mit dem Geodreieck eine senkrechte Gerade durch den Koordinatenursprung und lesen Sie deren Steigung ab.
des_175

f_1529

Satz Für die Steigung zweier senkrecht aufeinander stehender Geraden g und h gilt:
f_1530
Die Geraden sind zueinander orthogonal.

Beweis
Die Steigungen von g und h lassen sich ablesen zu:
f_1531
des_176

Beispiel
Gegeben ist der Schnittpunkt S( 2 | 3 ) zweier rechtwinklig zueinander verlaufender Geraden g und h, wobei die Steigung von g
f_1532
Gesucht:

Die Funktionsgleichung g(x) der Geraden g.
Die Funktionsgleichung h(x) der Geraden h.
Die Graphen von g und h für
f_1533
f_1534 des_177

Training:
Schnittpunkt zweier Geraden
Gegeben sind die Funktionsgleichungen zweier Geraden g1(x) und g2(x).
Berechnen Sie den Schnittpunkt beider Geraden und zeichnen Sie die Geraden in ein Koordinatensystem.
1. 01 Ergebnis 2. 02 Ergebnis
3. 03 Ergebnis 4. 04 Ergebnis
5. 05 Ergebnis 6. 06 Ergebnis
Gegeben ist die Funktionsgleichung einer Geraden g1(x).
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der zu g1(x) senkrecht verlaufenden Geraden, wenn diese durch den Punkt P1 verläuft. Berechnen Sie den Schnittpunkt beider Geraden und zeichnen Sie beide Geraden in ein Koordinatensystem.
7. 07 Ergebnis 8. 08 Ergebnis
9. 09 Ergebnis 10. 10 Ergebnis
Ausführliches Beispiel zu 1 - 6         Ausführliches Beispiel zu 7 - 10

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Schnittpunkt zweier Geraden
Nach der Koeffizienteneingabe wird der Geradenschnittpunkt bestimmt. Beide Geraden werden analysiert und können gezeichnet werden.

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Koordinaten ablesen
In einem rechtwinkligen Koordinatensystem sollen die Koordinaten eines Punktes abgelesen werden.

Anwendungen aus der Kostenrechnung

Für einen Unternehmer ist es wichtig, diejenige Produktionsmenge x einer Ware zu kennen, bei der die ihm bei der Produktion entstandenen Kosten K durch die Erlöse E aus dem Verkauf (Absatz) gedeckt sind. Anders ausgedrückt, er interessiert sich dafür, ab welcher produzierten Menge x er Gewinn G macht.

Definition Für die Kostenfunktion K(x) bei konstanten Stück- und Fixkosten gilt:
f_1535

Merke Gesamtkosten, beschrieben durch die ertragliche Kostenfunktion K(x) sind die in einem Betrieb bei der Produktion von x Mengeneinheiten (ME) eines Produktes entstehenden Kosten.
Stückkosten k sind die Gesamtkosten pro Stück (auch variable Stückkosten genannt).
Fixe Kosten Kf sind die Kosten, die auch dann entstehen, wenn nichts produziert wird. (Zinsen, Mieten, Versicherungen, Gehälter usw.)

Definition Für die Erlösfunktion E(x) bei konstantem Preis gilt:
f_1536

Merke Die zu dem Preis p verkaufte Menge nennt man auch Ausbringungsmenge.

Definition Für die Gewinnfunktion G(x) gilt:
f_1537

Merke Ist das Ergebnis von G(x) negativ, macht der Betrieb Verlust, ist G(x) positiv, dann macht er Gewinn.
Falls G(x) = 0 ist, sind die Kosten K(x) genauso hoch wie der Erlös E(x).
Dieser Punkt wird Gewinnschwelle genannt.

Beispiel Ein Betrieb produziert "Handys" zu 20 € pro Stück.
Die fixen Betriebskosten belaufen sich auf 60000 € pro Tag.
Der Verkaufspreis pro "Handy" beträgt 40 €.
Maximal kann der Betrieb täglich 4000 "Handys" herstellen (Kapazitätsgrenze).
a) Ab welcher Ausbringungsmenge macht der Betrieb Gewinn?
b) Bei welcher Ausbringungsmenge erzielt der Betrieb den maximalen Gewinn?
c) Stellen Sie den Sachverhalt graphisch in einem geeigneten Koordinatensystem dar.
a) f_1538 c) des_178
b) f_1539
Bei einer Ausbringungsmenge von 4000 "Handys" pro Tag ist der Gewinn maximal, er beträgt dann 20000 €.

Die Gewinnschwelle kann statt über die Gewinnfunktion auch über den Schnittpunkt des Graphen der Kostenfunktion mit dem Graphen der Erlösfunktion ermittelt werden.
Die x- Koordinate des Schnittpunktes ist die Gewinnschwelle, die y- Koordinate gibt die Kosten an dieser Stelle an.

Mengen- und Geldeinheiten

Die in einem Betrieb produzierte Menge eines Produktes beläuft sich oft auf große Stückzahlen, z.B 1000 000 Cd- Rohlinge pro Tag. Auch Kosten für Produktionsprozesse fallen häufig in Millionenhöhe an.

Solch große Zahlen sind bei Rechnungen nicht immer leicht zu handhaben. Deshalb führt man für die produzierte Stückzahl Mengeneinheiten und für Kosten Geldeinheiten ein.

Dabei kann man z. B. 1000 000 CD- Rohlinge zu 10 Mengeneinheiten (10 ME) zusammenfassen, wobei eine Mengeneinheit für 100 000 Stück steht.
Ebenso fasst man Kosten zu Geldeinheiten zusammen, z. B. können 9000 000 € zu 9 Geldeinheiten (9 GE) zu je 1000 000 € zusammengefasst werden.

Außerdem ist man bei der Kostenbetrachtung an keine bestimmte Währung gebunden. Man betrachtet lediglich Geldeinheiten.

Beispiel Die Kostenfunktion für die Herstellung eines bestimmten Produktes sei
K(x) = 0,3x + 4 und die Erlösfunktion E(x) = 1,1x.
Wie hoch sind die Gesamtkosten an der Gewinnschwelle?.

f_1540
Die Gewinnschwelle liegt bei 5 ME, an dieser betragen die Kosten 5,5 GE.