Schnittpunkt zweier Geraden

Ein Gleichungssystem aus zwei linearen Gleichungen hat bekanntlich entweder eine, keine oder unendlich viele Lösungen.
Was aber hat das mit der Lage zweier Geraden zueinander zu tun?
Ein Fallbeispiel soll zur Klärung dienen.

Beispiel

Ein Ökokühlschrank (1) kostet 400 € und hat monatliche Energiekosten von 20 €. Ein Billigkühlschrank (2) kostet 200 € und hat monatliche Energiekosten von 40 €. Nach welcher Zeit hat sich der in der Anschaffung teuere Ökokühlschrankbezahlt gemacht (sich amortisiert)? Die Funktionsgleichungen für die Kostenentwicklung lauten: Für den Ökokühlschrank: Für den Billigkühlschrank: Der in der Anschaffung teuere Ökokühlschrank hat sich dann amortisiert, wenn die Gesamtkosten (Anschaffungskosten und Energiekosten) gleich, bzw. geringer sind als die des Billigkühlschrankes. Ergebnis: Das Gleichungssystem wurde durch das Gleichsetzungsverfahren gelöst. Der Wert x = 10 bedeutet, nach 10 Monaten hat sich der Ökokühlschrank amortisiert. Der Wert y = 600 bedeutet, für beide Kühlschränke sind nach 10 Monaten die gleichen Kosten entstanden ( 600 € ). Ab jetzt sind die Gesamtkosten für den Ökokühlschrank geringer.

Um den Schnittpunkt zweier Geraden zu bestimmen ist stets ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen zu lösen.

Beispiel

Die Lösung führt auf einen Widerspruch. Das bedeutet, das Gleichungssystem hat keine Lösung.

Die Funktionsgleichung g(x) entsteht aus f(x) durch Verschiebung um drei Einheiten nach unten.
Das bedeutet, der Graph von g(x) ist parallel zu dem von f(x).
Zwei parallele Gerade haben offensichtlich keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

Beispiel

Beide Geraden haben unendlich viele gemeinsame Punkte, sie liegen aufeinander, sind identisch.

Fassen wir die bisherigen Ergebnisse zusammen.
Um den Schnittpunkt zweier Geraden zu bestimmen, sind deren Funktionsgleichungen, die ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen bilden, zu lösen.
Das kann mit dem Gleichsetzungsverfahren geschehen.

Merke

Hat f(x) = g(x) genau eine Lösung, dann schneiden sich die Graphen von f und g in einem Punkt. Die Geraden haben unterschiedliche Steigungen. Hat f(x) = g(x) keine Lösung, dann haben beide Geraden keinen gemeinsamen Punkt. Sie verlaufen parallel zueinander. Hat f(x) = g(x) unendlich viele Lösungen, dann sind beide Geraden identisch.

Genau eine Lösung Keine Lösung Unendlich viele Lösungen

Rechtwinklig zueinander verlaufende Geraden

Ermittelt man die Steigung von zwei sich rechtwinklig schneidenden Geraden, so ist zu vermuten, dass es zwischen den Steigungen beider Geraden einen Zusammenhang gibt.

Vorübung: Zeichnen Sie den Graphen der Funktion in ein Koordinatensystem. Zeichnen Sie zu diesem Graphen mit dem Geodreieck eine senkrechte Gerade durch den Koordinatenursprung und lesen Sie deren Steigung ab.

Satz	Für die Steigung zweier senkrecht aufeinander stehender Geraden g und h gilt: Die Geraden sind zueinander orthogonal.

Beweis

Die Steigungen von g und h lassen sich ablesen zu:

Beispiel

Gegeben ist der Schnittpunkt S( 2 | 3 ) zweier rechtwinklig zueinander verlaufender Geraden g und h, wobei die Steigung von g Gesucht: Die Funktionsgleichung g(x) der Geraden g. Die Funktionsgleichung h(x) der Geraden h. Die Graphen von g und h für

Training:

Schnittpunkt zweier Geraden Gegeben sind die Funktionsgleichungen zweier Geraden g1(x) und g2(x). Berechnen Sie den Schnittpunkt beider Geraden und zeichnen Sie die Geraden in ein Koordinatensystem. 1. Ergebnis 2. Ergebnis 3. Ergebnis 4. Ergebnis 5. Ergebnis 6. Ergebnis Gegeben ist die Funktionsgleichung einer Geraden g1(x). Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der zu g1(x) senkrecht verlaufenden Geraden, wenn diese durch den Punkt P1 verläuft. Berechnen Sie den Schnittpunkt beider Geraden und zeichnen Sie beide Geraden in ein Koordinatensystem. 7. Ergebnis 8. Ergebnis 9. Ergebnis 10. Ergebnis Ausführliches Beispiel zu 1 - 6         Ausführliches Beispiel zu 7 - 10

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Schnittpunkt zweier Geraden Nach der Koeffizienteneingabe wird der Geradenschnittpunkt bestimmt. Beide Geraden werden analysiert und können gezeichnet werden.

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Koordinaten ablesen In einem rechtwinkligen Koordinatensystem sollen die Koordinaten eines Punktes abgelesen werden.

Anwendungen aus der Kostenrechnung

Für einen Unternehmer ist es wichtig, diejenige Produktionsmenge x einer Ware zu kennen, bei der die ihm bei der Produktion entstandenen Kosten K durch die Erlöse E aus dem Verkauf (Absatz) gedeckt sind. Anders ausgedrückt, er interessiert sich dafür, ab welcher produzierten Menge x er Gewinn G macht.

Definition

Für die Kostenfunktion K(x) bei konstanten Stück- und Fixkosten gilt:

Merke

Gesamtkosten, beschrieben durch die ertragliche Kostenfunktion K(x) sind die in einem Betrieb bei der Produktion von x Mengeneinheiten (ME) eines Produktes entstehenden Kosten. Stückkosten k sind die Gesamtkosten pro Stück (auch variable Stückkosten genannt). Fixe Kosten Kf sind die Kosten, die auch dann entstehen, wenn nichts produziert wird. (Zinsen, Mieten, Versicherungen, Gehälter usw.)

Definition

Für die Erlösfunktion E(x) bei konstantem Preis gilt:

Merke

Die zu dem Preis p verkaufte Menge nennt man auch Ausbringungsmenge.

Definition

Für die Gewinnfunktion G(x) gilt:

Merke

Ist das Ergebnis von G(x) negativ, macht der Betrieb Verlust, ist G(x) positiv, dann macht er Gewinn. Falls G(x) = 0 ist, sind die Kosten K(x) genauso hoch wie der Erlös E(x). Dieser Punkt wird Gewinnschwelle genannt.

Beispiel

Ein Betrieb produziert "Handys" zu 20 € pro Stück. Die fixen Betriebskosten belaufen sich auf 60000 € pro Tag. Der Verkaufspreis pro "Handy" beträgt 40 €. Maximal kann der Betrieb täglich 4000 "Handys" herstellen (Kapazitätsgrenze). a) Ab welcher Ausbringungsmenge macht der Betrieb Gewinn? b) Bei welcher Ausbringungsmenge erzielt der Betrieb den maximalen Gewinn? c) Stellen Sie den Sachverhalt graphisch in einem geeigneten Koordinatensystem dar. a) c) b) Bei einer Ausbringungsmenge von 4000 "Handys" pro Tag ist der Gewinn maximal, er beträgt dann 20000 €.

Die Gewinnschwelle kann statt über die Gewinnfunktion auch über den Schnittpunkt des Graphen der Kostenfunktion mit dem Graphen der Erlösfunktion ermittelt werden.
Die x- Koordinate des Schnittpunktes ist die Gewinnschwelle, die y- Koordinate gibt die Kosten an dieser Stelle an.

Mengen- und Geldeinheiten

Die in einem Betrieb produzierte Menge eines Produktes beläuft sich oft auf große Stückzahlen, z.B 1000 000 Cd- Rohlinge pro Tag. Auch Kosten für Produktionsprozesse fallen häufig in Millionenhöhe an.

Solch große Zahlen sind bei Rechnungen nicht immer leicht zu handhaben. Deshalb führt man für die produzierte Stückzahl Mengeneinheiten und für Kosten Geldeinheiten ein.

Dabei kann man z. B. 1000 000 CD- Rohlinge zu 10 Mengeneinheiten (10 ME) zusammenfassen, wobei eine Mengeneinheit für 100 000 Stück steht.
Ebenso fasst man Kosten zu Geldeinheiten zusammen, z. B. können 9000 000 € zu 9 Geldeinheiten (9 GE) zu je 1000 000 € zusammengefasst werden.

Außerdem ist man bei der Kostenbetrachtung an keine bestimmte Währung gebunden. Man betrachtet lediglich Geldeinheiten.

Beispiel

Die Kostenfunktion für die Herstellung eines bestimmten Produktes sei K(x) = 0,3x + 4 und die Erlösfunktion E(x) = 1,1x. Wie hoch sind die Gesamtkosten an der Gewinnschwelle?. Die Gewinnschwelle liegt bei 5 ME, an dieser betragen die Kosten 5,5 GE.