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Lineare Funktionen
aus gegebenen Bedingungen
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Fall I: Gerade mit der Steigung a1 durch den Punkt P

Beispiel Eine Gerade mit der Steigung a1 verläuft durch den Punkt P1( x1 | y1 ).
Gesucht ist die Funktionsgleichung f(x) = a1x + a0.
f_1502 des_166

Beispiel
Zur Versorgung der Futterautomaten im Zoo "Koalabär" benötigt der Tierpfleger täglich 7,5 kg Tierfutter. Zwölf Tage, nachdem das Futterlager zum letzten Mal aufgefüllt wurde, befinden sich dort noch 250 kg.
a) Stellen Sie eine Funktionsgleichung auf, die diesen Sachverhalt beschreibt.
b) Auf welche Menge wurde das Futterlager vor zwölf Tagen aufgefüllt?
Lösung zu a):
x- Achse: Zeit in Tagen            y- Achse: Futterbestand in kg
f_1503
Lösung zu b):
Der Auffüllzeitpunkt liegt bei x = 0.
f_1504
Der Futterbestand wurde vor 12 Tagen auf 340 kg aufgefüllt.

Wenn wie im Fall I die Steigung und ein Punkt einer Geraden bekannt ist, erfolgt die Rechnung immer in der gleichen Weise mit den vorgegebenen Daten.
In einem solchen Fall kann man die Rechnung allgemein durchgeführt werden. Das führt dann zu einer Formel.

Eine Gerade mit der Steigung a1 verläuft durch den Punkt P1( x1 | y1 ).
f_1505
heißt auch Punkt- Steigungsform der Geradengleichung.

Beispiel f_1506

Fall II: Gerade durch zwei Punkte

Beispiel Zwei Punkte P1( x1 | y1 ) und P2( x2 | y2 ) liegen auf einer Geraden.
Gesucht ist die Funktionsgleichung f(x) = a1x + a0.
f_1507
Nachdem die Steigung bekannt ist, wird die Aufgabe gelöst wie unter Fall I beschrieben.
Für die Punktprobe ist es egal, welcher Punkt dazu verwendet wird, denn beide Punkte sollen ja auf der Geraden liegen.
des_167
f_1508

Beispiel Wie aus dem Physikunterricht bekannt, gibt es unterschiedliche Temperaturskalen.
Die Celsiusskala soll in die Fahrenheitskala umgerechnet werden.
Zwischen beiden besteht eine lineare Beziehung.
100 0C entsprechen 212 0F, 0 0C entsprechen 32 0F.
Gesucht ist eine Funktionsgleichung, für die Umrechnung von 0C in 0F.
Unabhängige Variable x in 0C, abhängige Variable y = f(x) in 0F.

f_1509

Auch für Fall II kann die Rechnung allgemein durchgeführt werden:
Zwei Punkte P1( x1 | y1 ) und P2( x2 | y2 ) liegen auf einer Geraden.
Die Allgemeine Form der Geradengleichung lautet: f(x) = a1x + a0.
f_1510
f_1511
ist die allgemeine Form der Geradengleichung durch zwei Punkte.

In der Literatur erscheint sie in der Form:
f_1512
Für den praktischen Gebrauch eignet sich die Form:
f_1513

Beispiel f_1514

Übung Stellen Sie eine Funktionsgleichung für die Umrechnung von 0F in 0C auf.

Training:
Berechnung der Funktionsgleichung
Eine Gerade hat die Steigung a1 und verläuft durch den Punkt P.
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x), die Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen.
1. 01 Ergebnis 2. 02 Ergebnis
3. 03 Ergebnis 4. 04 Ergebnis
Eine Gerade verläuft durch die Punkte P1 und P2.
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x), die Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen.
5. 05 Ergebnis 6. 06 Ergebnis
7. 07 Ergebnis 8. 08 Ergebnis
9. 09 Ergebnis 10. 10 Ergebnis
Ausführliches Beispiel zu 1 - 4         Ausführliches Beispiel zu 5 - 10

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Geraden erkennen
Es werden nacheinander mehrere Graphen linearer Funktionen gezeigt, von denen die Funktionsgleichung zu finden ist. Nach dem Durchlauf von 10 Aufgaben erfolgt eine Benotung

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Gerade durch zwei Punkte
Nach der Vorgabe von zwei Punkten, wird die dazugehörige Gerade generiert und analysiert.

Sonderfälle von Geradengleichungen

 
Parallele zur x- Achse:
f_1517
ist eine ganzrationale Funktion 0. Grades und wird auch als konstante Funktion bezeichnet.

Die x- Achse ist ebenfalls eine konstante Funktion mit der Funktionsgleichung f(x) = 0.

Die Steigung einer Konstanten Funktion ist stets Null.
des_168

 
Parallele zur y- Achse:
f_1518
Die Gerade verläuft parallel zur y- Achse.
Sie kann nicht durch eine Funktionsgleichung beschrieben werden, da es keine eindeutige Zuordnung gibt.

x = 0 ist die Gleichung der y- Achse.
des_169

Beispiel Gegeben ist f(x) = 2,5 und eine Parallele zur y- Achse im Abstand a mit a > 0.
Eine Ursprungsgerade g geht durch den Punkt P( a | f(x) ).
Sie bildet mit der x- Achse und der Parallelen zur y- Achse ein Dreieck.
Bestimmen Sie a so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks 4 Flächeneinheiten (FE) beträgt.
Wie lautet für diesen Fall die Funktionsgleichung g(x)?
des_170 f_1519

Lösung der Übung

Übung Stellen Sie eine Funktionsgleichung für die Umrechnung von 0F in 0C auf.
Lösung:
Die Umrechnung von 0C in 0F bedeutet für die Variablen:
x in 0F ist die unabhängige Variable und y = f(x) in 0C ist die abhängige Variable.
f_1515
Da zwischen den Temperaturskalen eine lineare Beziehung besteht, liegen die Punkte P1 und P2 auf einer Geraden.
Die allgemeine Form der Geradengleichung lautet: f(x) = a1x + a0.
Zu bestimmen sind die Koeffizienten a1 und a0.
f_1516