Einführung

Aus der Sekundarstufe I sind Ihnen die Graphen linearer Funktionen als Geraden bekannt und deren Funktionsgleichungen als Geradengleichungen. Proportionale Zusammenhänge lassen sich durch Geraden darstellen.

Beispiel

Am Fischstand auf dem Wochenmarkt kosten 100 g Schillerlocken 4,50 €. Frau Barsch möchte 300 g kaufen.

Die Kosten K sind also von der Menge x abhängig und somit eine Funktion von x.

K(x) wird auch Kostenfunktion genannt.
Für den Kauf von Schillerlocken lautet die Kostenfunktion K(x) = 4,50 x, wobei 4,50 der Preis pro Mengeneinheit in € und x die Anzahl der Mengeneinheiten in Vielfachen von 100 g ist.
Ersetzt man K(x) durch y, dann entsteht die bekannte Gleichung y = 4,50 x.
Im Koordinatensystem ist das eine Gerade durch den Nullpunkt.

Beispiel

Sven hat einen Handyvertrag mit monatlichen Grundgebühren von 20 €. Für jede Minute die er telefoniert fallen 0,2 € an. a) Welche Kosten entstehen monatlich, wenn Sven 30 min, 60 min, 90 min, 120 min telefoniert? Stellen Sie die Werte in einer Wertetabelle dar. b) Zeichnen Sie den Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem. c) Wie lautet die Funktionsgleichung für die Kostenrechnung? Lösung zu a): Die Kosten setzen sich additiv aus einem festen (20 €) und einem variablen Anteil (0,2 x) zusammen, wobei x die Anzahl der telefonierten Minuten ist. Lösung zu b): Lösung zu c): x ist die unabhängige Variable für die Gesprächsdauer in Minuten. y = f(x) ist die abhängige Variable für die monatlichen Gesamtkosten in €. Bei folgender Rechnung werden die Einheiten min und € weggelassen. Ansatz für die Funktionsgleichung:

Beispiel

Beispiele zum aufstellen von Funktionsgleichungen: Ein Abwasserschacht enthält 1000 Liter Wasser. Jeden Tag kommen 100 Liter dazu. Thorsten verdient jeden Monat 1300 € netto. Funktionsgleichung für den Nettoverdienst in €: Ein Tank enthält 4000 Liter Diesel. Jede Woche verbraucht ein Motor 500 Liter.

Soll für einen proportionalen Zusammenhang die Funktionsgleichung aufgestellt werden, ist zuerst zu überlegen:

Gibt es einen Anfangswert a0? Wie groß ist die Änderungsrate (z.B. Änderung pro Tag, Minute, Stück oder Gewicht). Ist die Änderungsrate positiv oder Negativ (positiv = Zunahme, negativ = Abnahme).

Sie kennen die Funktionsgleichung der Geraden in der Form:

Da Geradengleichungen zur Familie der ganzrationalen Funktionen gehören, die ein zentrales Thema der Oberstufenmathematik sind, soll deren Darstellungsart von Anfang an auf diese übertragen werden.

Definition

Ganzrationale Funktion n - ten Grades

Da die beiden letzten Summanden a₁x + a₀ zum Funktionsterm der Geradengleichung gehören, folgt die Definition:

Definition

Ganzrationale Funktion 1. Grades heißt ganzrationale Funktion 1. Grades oder lineare Funktion

Der Grad der Funktion wird durch den höchsten Exponenten von x
(hier also 1, denn x = x¹) bestimmt.
Der Koeffizient a₁ steht für m und a₀ steht für b oder n.
Die Bezeichnung "lineare Funktion" rührt daher, dass der Graph einer linearen Funktion im rechtwinkligem Koordinatensystem eine Gerade darstellt.

Merke

Der Graph einer linearen Funktion stellt eine Gerade dar.

Beispiel

Beispiele für Funktionsgleichungen linearer Funktionen:

Übung 1:

Stellen Sie für die ganzzahligen Werte von D eine Wertetabelle auf und zeichnen Sie den Graphen. Bestimmen Sie die Wertemenge W für die Definitionsmenge D. In welchen Punkten schneidet der Graph die Koordinatenachsen?

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Kartesische Koordinaten Dieses Applet ist ein einfaches dynamisches Diagramm, das den Zusammenhang zwischen der Position eines Punktes in der Zeichenebene und seinen (kartesischen) Koordinaten darstellt.

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Koordinaten ablesen In einem rechtwinkligen Koordinatensystem sollen die Koordinaten eines Punktes abgelesen werden.

Achsenschnittpunkte

Achsenschnittpunkte sind die Punkte, in denen der Graph die Koordinatenachsen schneidet. Diese Werte lassen sich mehr oder weniger genau aus dem Graphen ablesen. Oft besteht auch die Möglichkeit, der Wertetabelle diese Daten zu entnehmen. Nun soll es darum gehen, diese Werte durch Rechnung, ohne Wertetabelle und Graph zu nutzen zu bestimmen.

Schnittpunkt mit der y- Achse (Ordinate) P_y:

Merke

Der Schnittpunkt mit der y- Achse kann für alle lineare Funktionen der Form

Schnittpunkt mit der x- Achse (Abszisse) P_x:

Die y- Werte (Funktionswerte) aller Punkte, die auf der x- Achse liegen haben den Wert 0.

Video Von OberPrima Achsenschnittpunkte lineare Funktion: Hierzu gibt Olaf Hinrichsen in einem Video auf seiner sehenswerten Webseite http://oberprima.com ausführliche Informationen.

Beispiel

Bestimmen Sie von folgender Funktion die Achsenabschnitte und zeichnen Sie den Graphen.

Die x- Koordinate des Schnittpunktes mit der x- Achse wird auch Nullstelle genannt.
Denn für diesen x- Wert (an dieser Stelle x) ist der Funktionswert Null.

Übung 2:

Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen für Kontrollieren Sie die Nullstelle durch Einsetzen in f(x).

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Nullstellenfinder Mit diesem JavaScript lassen sich Nullstellen von Polynomen bis 9. Grades bestimmen. Der Funktionsgraph wird gezeichnet.

Die Steigung

Die meisten Schienen oder Straßenfahrzeuge können nur geringe Steigungen überwinden. Im Gebirge setzt man daher Zahnradbahnen oder Seilbahnen ein, diese eignen sich auch für steile Strecken.

Das Verkehrsschild "12% Steigung" bedeutet:Auf 100 m horizontaler Strecke steigt die Straße um 12 m an. Es wird ein Höhenunterschied von 12 m überwunden.

Das Verhältnis zwischen Höhenunterschied und horizontaler Strecke wird Steigung genannt.

Definition

Das Steigungsdreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck für das gilt:

In der nebenstehenden Grafik ist eine Ursprungsgerade, durch die Punkte P1 und P2 abgebildet. Die Steigung der Geraden soll mit Hilfe der Koordinaten von P1 und P2 ermittelt werden. Die Längen von Gegenkathete und Ankathete sind durch die Koordinatendifferenzen der beiden Punkte festgelegt. Für die Differenzen schreibt man:

Aus dem Steigungsdreieck lässt sich die Steigung der Geraden ablesen:

Die Steigung einer Geraden im Koordinatensystem ist das Verhältnis von Gegenkathete zur Ankathete eines beliebigen rechtwinkligen Dreiecks (Steigungsdreieck), dessen Hypotenuse Teil des Funktionsgraphen ist.

Die Vermutung liegt nahe, dass der Koeffizient a₁ der Geradengleichung
f(x) = a₁x + a₀ für die Steigung der Geraden verantwortlich ist.
Das soll nun bewiesen werden.

Beweis

Behauptung: Die Steigung m entspricht dem Koeffizienten a1 der Geradengleichung: f(x) = a1x + a0 Beweis:

Satz

Sind also zwei Punkte einer Geraden durch ihre Koordinaten gegeben, so kann man: Die Gerade zeichnen indem man die beiden Punkte miteinander verbindet und die so entstandene Gerade über die Punkte hinaus verlängert. Die Steigung der Geraden mit Hilfe des Steigungsdreiecks errechnen.

Beispiel

sollen Punkte einer Geraden sein, deren Steigung zu bestimmen ist.

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Der Anstieg einer Geraden Dieses Applet veranschaulicht in einem dynamischen Diagramm den Anstieg als das Maß der "Steilheit" sowie den Zusammenhang mit dem Strahlensatz.

Funktionsgraphen zeichnen

Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade. Um eine Gerade zeichnen zu können, sind zwei Punkte nötig. Ist die Funktionsgleichung bekannt, kennen wir auch den Schnittpunkt mit der y - Achse P_y. Den zweiten Punkt erhalten wir durch die Steigung (Steigungsdreieck).

Beispiel

Um von einem bestimmten Punkt der Geraden über das Steigungsdreieck zu einem zweiten Punkt zu gelangen, kann man sich in Kurzform folgendes merken:

Merke

Nennereinheiten nach rechts, Zählereinheiten in Abhängigkeit vom Vorzeichen nach oben oder nach unten. Dabei gilt: für + nach oben, für - nach unten.

Liegen die beiden Punkte zu nahe beieinander, dann kann das Verfahren mehrfach angewendet werden. Auch wenn der Steigungsfaktor a₁ eine ganze Zahl ist, lässt sich der zweite Punkt auf diese Weise bestimmen, denn jede Zahl lässt sich in einen Bruch verwandeln.

Beispiel

Geht man in vier Schritten vor, so liegen beide Punkte weit genug auseinander um eine saubere Gerade zeichnen zu können. Von P gehen wir vier mal jeweils einen Schritt nach rechts und einen Schritt nach unten und erhalten den Punkt P1. Vier Schritte nach rechts und 4 Schritte nach unten führt auf das gleiche Ergebnis.

Beispiel

Training:

Achsenschnittpunkte berechnen und Geraden zeichnen. Zeichnen Sie die Graphen folgender Geraden möglichst ohne Wertetabelle. Benutzen Sie dazu den Schnittpunkt mit der y - Achse und das Steigungsdreieck. Berechnen Sie den Schnittpunkt mit der x - Achse und überprüfen Sie das Ergebnis anhand des Graphen. 1. Ergebnis 2. Ergebnis 3. Ergebnis 4. Ergebnis 5. Ergebnis 6. Ergebnis 7. Ergebnis 8. Ergebnis 9. Ergebnis 10. Ergebnis

Begriffe und Darstellungsarten

Der Graph einer Funktion f(x) wird auch Schaubild K_f genannt.
Im rechtwinkligen Koordinatensystem hat jeder Punkt P eine x- und eine y- Koordinate P ( x | y ).
Die x- Koordinate entspricht der unabhängigen Variablen x der Funktion f(x).
Die y- Koordinate entspricht dem jeweiligen Funktionswert von f(x).
Deshalb verwendet man oft die Schreibweise y = f(x).

Speziell bei linearen Funktionen sind auch folgende Schreibweisen üblich:

Übung 3:

Statt Schaubild einer Funktion Kf sagt man auch Graph einer Funktion f. a) b) c) Berechnen Sie die Nullstelle von f(x). d) Für welche x- Werte gilt f(x) > 0? e) f) Der Graph g entsteht durch Verschiebung von Kf in y- Richtung und verläuft durch N( 4 | 0 ).

Beispiel

Der Schnellimbiss "MC- Pommes" benötigt für die Fritteusen täglich 19 kg frisches Fett. Momentan sind noch 250 kg im Lager vorhanden. a) Stellen Sie die Funktionsgleichung auf und zeichnen Sie den Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem. b) Bei einem Lagerbestand von 95 kg soll der Filialleiter nachbestellen. Nach wie viel Tagen muss die Bestellung erfolgen? c) Wie lange reicht das Fett, wenn nicht nachbestellt wird?   Lösung zu a):   Die unabhängige Variable x steht für die Zeit in Tagen. Die abhängige Variable f(x) steht für die verbleibende Menge Fett in kg. Der Anfangswert beträgt 250 kg. Die Änderungsrate ist negativ und beträgt 19kg/Tag. Da ein linearer Zusammenhang besteht gilt:   Lösung zu b):   Da bei 95 kg nachbestellt werden soll, gilt der Ansatz: Die Bestellung muss in etwa 8 Tagen erfolgen.   Lösung zu c):   Zu bestimmen ist der Schnittpunkt des Graphen mit der y- Achse: Das Fett reicht noch etwa 13 Tage.

Lösung der Übungen

Übung 1:	Stellen Sie für die ganzzahligen Werte von D eine Wertetabelle auf und zeichnen Sie den Graphen. Bestimmen Sie die Wertemenge W für die Definitionsmenge D. In welchen Punkten schneidet der Graph die Koordinatenachsen?
	Lösung:

Übung 2:	Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen für Kontrollieren Sie die Nullstelle durch Einsetzen in f(x).
	Lösung:
	Probe:

Übung 3:

Statt Schaubild einer Funktion Kf sagt man auch Graph einer Funktion f. a) b) c) Berechnen Sie die Nullstelle von f(x). d) Für welche x- Werte gilt f(x) > 0? e) f) Der Graph g entsteht durch Verschiebung von Kf in y- Richtung und verläuft durch N( 4 | 0 ). Lösung zu a): Lösung zu b): Lösung zu c): Lösung zu d): Lösung zu e): Lösung zu f):