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Gleichungen und Ungleichungen word pdf

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Gleichungen und Ungleichungen als Aussageform

 
 
Zahlengleichungen- oder Ungleichungen mit Zahlen sind Aussagen.

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Bestimmungsgleichungen- oder Ungleichungen sind Aussageformen.

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Gleichungen und Ungleichungen bestehen aus zwei Termen, rechts und links vom Relationszeichen.

Definition Die Menge der Elemente x, die eine Gleichung bzw. Ungleichung zu einer wahren Aussage führt, heißt Lösungsmenge ( L ) oder Erfüllungsmenge.

Gleichungen bzw. Ungleichungen lösen bedeutet somit "Bestimmen der Lösungsmengen".

Definition Die Menge, der die Elemente zur Erfüllung der Gleichung oder Ungleichung entnommen werden dürfen, heißt Grundmenge ( G ).

Definition Die Menge, für die die mathematischen Terme, die in der Gleichung oder Ungleichung vorkommen, definiert sind, heißt Definitionsmenge ( D ).

  Beispiel:
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  Äquivalenzumformung ist eine Umformung, die die Lösungsmenge einer Gleichung nicht verändert.
Erlaubt ist:
 
Auf beiden Seiten einer Gleichung die gleiche Zahl oder den gleichen Termzu addieren oder zu subtrahieren. Beide Seiten einer Gleichung mit der gleichen Zahl, mit demselben Term zu multiplizieren oder durch die gleiche Zahl zu dividieren.

Nicht erlaubt bei einer Äquivalenzumformung sind:
Multiplikation mit Null, Division durch Null, sowie quadrieren beider Seiten.

  Applet  
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Graphische Darstellung der Äquivalenz
Bei diesem Applet handelt es sich um ein graphische Veranschaulichung der Tatsache, dass sich die Lösungsmenge einer Gleichung unter Äquivalenzumformungen nicht ändert.

  Beispiel:
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  Beispiel:
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  Beispiel:
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  Beispiel:
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  Beispiel:
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Die Variable u heißt Parameter oder Formvariable. Die Variable x ist die Lösungsvariable. Bestimmen Sie die Lösungsmenge in Abhängigkeit von u.
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  Beispiel:
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Die Lösung dieser Ungleichung ist ein Intervall.

  Beispiel:
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Merke Wird bei der Äquivalenzumformung einer Ungleichung diese auf beiden Seiten mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl dividiert, so dreht sich das Relationszeichen um.