Einführung

Bei den bisher betrachteten Funktionen traten Exponenten nur als Zahlen auf.

Funktionen mit positiver Basis, bei denen die unabhängige Variable x als Exponent auftritt heißen Exponentialfunktionen.

Beispiele für Exponentialfunktionen:

Die Zahlen 1,5 ; 2 ; 2,5 ; e und 3 bilden die Basen und x den Exponenten.
Die Basis e ist als Eulersche Zahl bekannt und hat näherungsweise den Wert 2,71828.
Sie wird bei weiteren Betrachtungen noch eine wichtige Rolle spielen.

Graphen von Exponentialfunktionen mit unterschiedlichen Basen

Der in farbiger Darstellung rot erscheinende stark hervorgehobene Graph gehört zu der Exponentialfunktion mit der Basis e, auch e- Funktion genannt.

Auffälligkeiten:

• Alle im Koordinatensystem dargestellten Graphen schneiden die y- Achse im Punkt Py ( 0 | 1 ).
• Für große negative x- Werte nähern sich alle Graphen beliebig der x- Achse. Die negative x- Achse wird in einem solchen Fall Asymptote genannt. Man sagt auch, die Graphen nähern sich für große negative x- Werte asymptotisch der x- Achse.
  
  Für große positive x- Werte wachsen die Funktionswerte über alle Grenzen.
  
• Alle Funktionswerte der im Koordinatensystem dargestellten Graphen sind positiv, da für Exponentialfunktionen nur positive Basen zugelassen werden. Das bedeutet es gibt in diesem Fall keine Nullstellen.

Woher kommt die Zahl e?

Mit Hilfe der Zinseszinsrechnung soll die Zahl e entwickelt werden.

Dabei wird die in jeder Formelsammlung enthaltene Zinseszinsformel verwendet.

Das Kapital soll sich bei jährlicher Verzinsung verdoppeln. Es ist also ein Zinsfuß von p = 100% zu wählen so dass p/100 = 1 ist.

Bei mehreren Zinsabschnitten pro Jahr, wird das Kapital mit Zinseszins mehrfach verzinst. Dabei ist der Zinsfuß durch die Anzahl der Zinsabschnitte zu teilen.

Die meisten Taschenrechner haben eine e- Funktionstaste, ähnlich wie die pi - Taste. Der Zahlenwert der Eulerschen Zahl ist ein unendlich nicht periodischer Dezimalbruch. Die Zahl e bildet die Basis der e- Funktion.

Der Wert von e auf 3 Stellen gerundet: e = 2,718
Der Wert von e auf 9 Stellen gerundet e = 2,718 281 828

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Zur Definition der Eulerschen Zahl e Externer Link zu http://www.mathe-online.at/galerie/log/n_EulerscheZahl.html

	Die e- Funktion besitzt keine Nullstellen, keine Extremwerte und auch keine Wendepunkte.

Spiegelung, Verschiebung und Streckung der e- Funktion

Ähnlich wie aus der Normalparabel durch entsprechende Operationen andere Parabeln entstehen können lassen sich aus der e- Funktion durch Verschiebung, Streckung und Spiegelung des Graphen andere Exponentialfunktionen gewinnen.

Spiegelung
	Keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte
	Keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte

Verschiebung in y- Richtung
	Keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte
	Keine Extremwerte und Wendepunkte. Nullstelle im Intervall [ 0 ; 1 ]

Verschiebung in x- Richtung
	Keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte
	Keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte

Streckung (Stauchung) in y- Richtung
	Keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte

Streckung (Stauchung) in x- Richtung
	Keine Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte

Spiegelungen, Verschiebungen und Streckungen der e- Funktion lassen sich beliebig miteinander kombinieren.

Verschiebungen auf der x- und y- Achse:
f2 (x) entstanden aus f1 (x) durch: Verschiebung auf der x- Achse um eine Einheit nach rechts. Verschiebung auf der y- Achse um zwei Einheiten nach oben.	f2 (x) entstanden aus f1 (x) durch: Verschiebung auf der x- Achse um zwei Einheit nach links. Verschiebung auf der y- Achse um eine Einheiten nach unten.

Training:

Graphen von e - Funktionen Ermitteln Sie Verschiebungen, Spiegelung und Formänderung der Grundfunktion ex. Zeichnen Sie jeden Funktionsgraphen und die Grundfunktion ex in ein geeignetes Koordinatensystem und berechnen Sie den Schnittpunkt mit der y- Achse. Lesen Sie an dem Graphen ab: Grenzwerte und falls vorhanden Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte. Bemerkung: Berücksichtigen Sie nur die Funktionswerte, die im Intervall [ -10 ; 10 ] liegen. 1. Ergebnis 2. Ergebnis 3. Ergebnis 4. Ergebnis 5. Ergebnis 6. Ergebnis 7. Ergebnis 8. Ergebnis 9. Ergebnis 10. Ergebnis