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Stetig, Differenzierbar, Integrierbar zm_074 word pdf

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Stetigkeit

Der Begriff der Stetigkeit soll zunächst anschaulich erläutert werden.

Eine Funktion f(x) heißt dann in einem Intervall [ a ; b ] stetig, wenn man den dazugehörigen Graphen von einem Intervallpunkt bis zum anderen zeichnen kann, ohne den Stift dabei absetzen zu müssen.
oder
Wenn sich die Punkte des Graphen der Funktion f(x) innerhalb eines Intervalls[ a ; b ] nahtlos aneinanderfügen, ohne dass sich irgendwelche Sprünge ergeben, dann ist die Funktion f(x) im Intervall [ a ; b ] stetig.

  Beispiel:
 
f_0771 mc_156

Beispiele stetiger Funktionen:

Jede ganzrationale Funktion ist auf ihrem Definitionsbereich stetig.
Jede gebrochen rationale Funktion ist in ihrem Definitionsbereich stetig.
(also nur dort unstetig, wo der Nenner Nullstellen hat, denn dort ist sie nicht definiert)

Für die klassische Betrachtung der Naturwissenschaften gilt: Die Natur macht keine Sprünge.
Danach verlaufen zahlreiche Naturvorgänge stetig:
Das Wachstum von Pflanzen und anderen Lebewesen mit der Zeit.
Die Druckerhöhung in einem Dampfkochtopf mit der Temperatur.
Es gibt aber auch unstetige (sprunghafte) Änderungen wie Gebühren bei Postsendungen oder Rabattstaffelungen.

  Mathematische Definition der Stetigkeit
  f_0772

Differenzierbarkeit

Wir betrachten die Differenzierbarkeit einer Funktion zunächst nur anschaulich.

  Beispiel:
 
Die erste Ableitung einer Funktion an der Stelle x0 gibt die Steigung der Tangente an, die den Funktionsgraphen im Punkt P0 ( x0 | y0 ) berührt und ist damit zugleich die Steigung des Funktionsgraphen im Punkt P0 ( x0 | y0 ).

Man sagt auch Steigung der Funktion.

Demzufolge ist eine Funktion an der Stelle x0 nur dann differenzierbar, wenn eine eindeutige Tangente existiert.
des_080

Eine Bedingung für die Differenzierbarkeit einer Funktion an der Stelle x0 ist:

Die Funktion muss an der Stelle x0 stetig sein.

Diese Forderung ist notwendig aber nicht ausreichend, wie folgendes Beispiel zeigt.

  Beispiel:
 
f_0773 mc_157

Die Funktion f(x) ist für x = 1 stetig, es gibt dort keinen Sprung.
Wir haben aber im Punkt P( 1 | 2 ) zwei verschiedene Tangenten.
Das bedeutet, für x = 1 gibt es auch zwei Tangentensteigungen, also zwei Ableitungswerte.
Das bedeutet, die Ableitungsfunktion ist an der Stelle x = 1 nicht eindeutig.
Das hat zur Folge, dass f(x) an der Stelle x = 1 nicht differenzierbar ist.

Anschaulich bedeutet das:
Eine Funktion f(x) ist an der Stelle x0 differenzierbar, wenn die Ableitung an dieser Stelle eindeutig ist, also genau eine Tangente existiert.
Man kann auch sagen, an Stellen, an denen der Graph einer Funktion Spitzen oder Knicke besitzt, ist die Funktion nicht differenzierbar.
Umgekehrt bedeutet das für die Stetigkeit:
Ist eine Funktion an der Stelle x0 differenzierbar, dann ist sie dort auch stetig.

  Weitere Beispiele:
 
mc_158 mc_159

Beide Funktionen sind an der Stelle x0 = 0 nicht differenzierbar, weil sie dort nicht definiert sind.

   
 
mc_160
u(x) ist an der Stelle x0 = 2 zwar stetig, aber nicht differenzierbar (Spitze).
mc_161
An der Stelle x0 = 1 ist die Funktion zwar stetig aber nicht differenzierbar (Knick).

  Mathematische Definition der Differenzierbarkeit
  f_0774

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Differenzierbarkeit
Veranschaulichung von linksseitigem und rechtsseitigem Grenzwert.

Integrierbarkeit

Eine Funktion ist integrierbar, wenn sie zumindest stückweise stetig ist.

  Beispiele
 
Gesucht ist die schraffierte Fläche.
des_081
f_0775

   
 
Gesucht ist die Dreiecksfläche.
f_0776
mc_162

f_0777

Obwohl die Funktion an der Stelle P ( 3 | 3 ) nicht differenzierbar ist, kann die Fläche über zwei Teilintegrale gefunden werden.