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Funktionenklassen zm_073 word pdf

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Einführung

Bisher haben wir nur ganzrationale Funktionen kennen gelernt. Sie gehören zu der Klasse der Rationalen Funktionen. In der modernen Mathematik spielen noch weitere Funktionen und Funktionsklassen eine große Rolle. Im nachfolgenden sollen einige Funktionen kurz vorgestellt und der Verlauf deren Graphen prinzipiell dargestellt werden. Für den Bereich der Sozialpädagogik haben e-Funktionen und Logarithmusfunktionen eine gewisse Bedeutung. Auf diese Funktionsklasse soll dann in Verbindung mit der Differential- und Integralrechnung näher eingegangen werden. Als weiteres wären da noch die gebrochenrationalen Funktionen von gewissem Interesse.

Einiges, was wir bisher über Funktionen gelernt haben kann auf alle Funktionen übertragen werden.

Die wesentliche Eigenschaft einer Funktion ist:
Jedem Wert der unabhängigen Variablen (x) wird genau ein Funktionswert f(x) zugeordnet.

Die Definitionsmenge (D) einer Funktion ist die Menge aller unabhängigen Variablen, für die die Funktionsgleichung definiert ist.

Die Wertemenge (W) ist die Menge aller Funktionswerte, sie hängt auch von der Definitionsmenge ab.

Rationale Funktionen

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Ganzrationale Funktionen entstehen durch zusammensetzen von Potenzfunktionen.

Der Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion wird durch den Summanden mit der höchsten Potenz bestimmt. Die Definitionsmenge ist normalerweise die Menge der reellen Zahlen. Eine ganzrationale Funktion n - ten Grades hat höchstens n Nullstellen.

Verlauf des Graphen ganzrationaler Funktionen:
mc_140 mc_141

Gebrochenrationale Funktionen n - ten Grades:
f_0761
Die Definitionsmenge gebrochenrationaler Funktionen ist eingeschränkt. Überall dort, wo der Nenner Null wird, ist die Funktion nicht definiert.

Verlauf des Graphen gebrochenrationaler Funktionen:
mc_142
Hyperbel punktsymmetrisch
mc_143
Hyperbel achsensymmetrisch
Beide Funktionen sind an der Stelle x = 0 nicht definiert.

Transzendente Funktionen

Exponentialfunktionen
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f_0763
Alle Graphen nebenstehender Exponentialfunktionen verlaufen durch den Punkt ( 0 | 1 ).
Je größer die Basis a ist, desto steiler ist der Kurvenverlauf.
mc_144

f_0764
Alle Graphen nebenstehender Exponentialfunktionen verlaufen durch den Punkt ( 0 | 1 ).
Je kleiner die Basis a ist, desto steiler ist der Kurvenverlauf
mc_145

Die e - Funktion als besondere Exponentialfunktion:
Die Graphen verlaufen von II nach I

Ist der Exponent positiv, so ist der Graph monoton steigend.

Ist der Exponent negativ, so ist der Graph monoton fallend.

Es gibt keine Nullstellen.

Für große x - Beträge nähert sich der Graph immer mehr der x - Achse.

Alle Graphen verlaufen durch den Punkt
P ( 0 | 1 ).

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mc_146

Training:
Graphen von e - Funktionen
Ermitteln Sie Verschiebungen, Spiegelung und Formänderung der Grundfunktion ex.
Zeichnen Sie jeden Funktionsgraphen und die Grundfunktion ex in ein geeignetes Koordinatensystem und berechnen Sie den Schnittpunkt mit der y- Achse.
Lesen Sie an dem Graphen ab:
Grenzwerte und falls vorhanden Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte.
Bemerkung: Berücksichtigen Sie nur die Funktionswerte, die im Intervall [ -10 ; 10 ] liegen.
1. 01 Ergebnis 2. 02 Ergebnis
3. 03 Ergebnis 4. 04 Ergebnis
5. 05 Ergebnis 6. 06 Ergebnis
7. 07 Ergebnis 8. 08 Ergebnis
9. 09 Ergebnis 10. 10 Ergebnis
 

Logarithmusfunktionen
Logarithmusfunktionen sind nur für positive x - Werte definiert.

Alle Graphen verlaufen durch den Punkt
P ( 1 | 0 )

Logarithmusfunktionen sind die Umkehrfunktionen von Exponentialfunktionen
mc_147

Training:
Graphen von Logarithmusfunktionen.
Zeichnen Sie die Graphen folgender Logarithmusfunktionen und lesen Sie daraus ab:
Verschiebungen und Formänderung der Grundfunktion ln (x) , Achsenschnittpunkte, Grenzwerte und Extremwerte.
(Nur die Funktionswerte sind zu berechnen, die im Bereich [ -10 ; 10 ] liegen)
1. 01 Ergebnis 2. 02 Ergebnis
3. 03 Ergebnis 4. 04 Ergebnis
5. 05 Ergebnis 6. 06 Ergebnis
7. 07 Ergebnis 8. 08 Ergebnis
9. 09 Ergebnis 10. 10 Ergebnis
 

Wurzelfunktionen

Wurzelfunktionen sind nur für positive x - Werte definiert.

Wurzelfunktionen sind die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen
mc_148

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Lückentext 01
Interaktiver Test zu Funktionenklassen

Trigonometrische Funktionen

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mc_149

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mc_150

Die Betragsfunktion

f_0768

Für alle x - Werte ist sie positiv.

An der Stelle x = 0 ist sie unstetig.
mc_151

Zusammengesetzte Funktionen

Aus allen bisher bekannten Funktionen lassen sich weitere Funktionen zusammensetzen.

Dazu ein paar Beispiele:

mc_152 mc_153

Umkehrfunktionen

f_0769 mc_154

f_0770 mc_155

In beiden Fällen ist der Graph der Umkehrfunktion eine Spiegelung der Graphen der Ursprungsfunktion an der Geraden g(x) = x.
Das gilt für alle Funktionen und deren Umkehrfunktionen.

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Funktionenplotter
Der Funktions-Plotter ist ein für viele Zwecke nützliches Werkzeug. Sie können beliebige Funktions-Terme eingeben, die zugehörigen Graphen betrachten und den Bildausschnitt durch Zoomen verändern. Mit seiner Hilfe können Sie sich schnell über die Form von Graphen orientieren, aber auch interessante Punkte wie die Nullstellen einer Funktion oder die Schnittpunkte mehrerer Graphen (d.h. die Lösungen der entsprechenden Gleichungen) mit einer hohen Genauigkeit numerisch ermitteln.

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Funktionen mit Parametern
Als Funktionen stehen Polynome 3. Ordnung, die Sinusfunktion, gebrochen rationale Funktion bis 2. Grades und Exponentialfunktionen zur Verfügung.
Die Parameterwahl geschieht durch Schieberegler.

Die gaußsche Glockenkurve

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mc_175

Eigenschaften:
Die Funktion ist achsensymmetrisch.
Die Funktion erreicht in der Mitte bei x = 0 den höchsten Wert.
Nach rechts und links fallen die Werte sehr schnell ab.
Nennenswerte Funktionswerte liegen nur im Bereich von -3 bis +3

Die Ergebnisse von Klassenarbeiten oder psychologischer Tests verteilen sich oft in dieser Form.

Betrachtet man die Fläche unter der Kurve, so beträgt der Anteil, der im Bereich von -1 bis + 1 liegt etwa 68%, das ist etwa 2/3 der Gesamtfläche.

Bei IQ - Messungen haben die meisten Testpersonen einen IQ zwischen 70 und 130.
Nur wenige liegen darunter oder darüber. So dass der Mittelwert bei etwa 100 liegt.
Um diesen Sachzusammenhang mit der gaußschen Glockenkurve zu veranschaulichen, muss die Mitte zu dem Wert 100 verschoben werden. Auch die Streuung um den Mittelwert wird berücksichtigt.

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Die Transformation der x - Achse erfolgte hier linear mit der Transformationsformel
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Vorerst gehen wir hier nicht weiter auf die Parameter ein, das geschieht im Zusammenhang mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung.