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Kurvendiskussion zm_009 word pdf

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Vorbetrachtungen und Begriffserklärungen

Um den Graphen einer Funktion zeichnen und interpretieren zu können, ist es erforderlich einiges über markante Punkte des Graphen und über seinen Verlauf im Definitionsbereich zu wissen.
Derartige Untersuchungen von Funktionen auf ihre wichtigsten charakteristischen Eigenschaften nennt man Kurvendiskussion.
Bei solchen Untersuchungen sollte man stets systematisch vorgehen und auch immer die gleiche Reihenfolge der Berechnungen und Betrachtungen einhalten, damit man keine wichtigen Eigenheiten der Funktion übersieht.

Folgende Verfahrensweise hat sich sehr bewährt:
1. Definitionsbereich:
Man bestimmt den Definitionsbereich der Funktion, denn nur innerhalb dieses Bereiches ist es sinnvoll, Untersuchungen über die Eigenschaften der Funktion anzustellen.
2. Symmetrien: Siehe auch
Man stellt fest, ob die Funktion achsen - oder punktsymmetrisch ist.
f_0589
Speziell bei ganzrationalen Funktionen gilt:
Eine ganzrationale Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn ihr Term nur Summanden mit geraden Exponenten enthält.
Eine ganzrationale Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn ihr Term nur Summanden mit ungeraden Exponenten enthält.
3. Extrema: Siehe auch
Bestimmen der relativen Extrema, man nennt sie auch Hoch- bzw. Tiefpunkte.
Das sind auch die Punkte mit waagerechter Tangente.
f_0590 f_0591
4. Wendepunkte: Siehe auch
Bestimmen der Wendepunkte, bzw. der Sattelpunkte
f_0592
Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente.
5. Achsenschnittpunkte: Siehe auch
Wird der x- Wert Null ( x = 0 ) in die Funktionsgleichung von f(x) eingesetzt, erhält man den Schnittpunkt mit der y- Achse.
Schnittpunkt(e) mit der x- Achse erhält man durch nullsetzen des Funktionsterms von f(x).
f_0593
6. Der Graph:
Mit allen bisher gesammelten Informationen lässt sich in den meisten Fällen nun der Graph zeichnen.
Dazu wird zunächst eine Wertetabelle angelegt.
Dabei zeigt es sich, welche Werte noch zu berechnen sind.
Diese kann man entweder mit dem Taschenrechner bestimmen, oder für ganzzahlige x- Werte mit dem HORNER-Schema.
7. Krümmungsverhalten und Monotonie: Siehe auch
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Kurz:
An den Wendestellen ändert sich das Krümmungsverhalten eines Graphen.
Das Monotonieverhalten ändert sich an den Extremstellen.
8. Randpunkte des Definitionsbereiches:
Untersuchung der Funktion in den Randpunkten des Definitionsbereichs.
Wenn der Definitionsbereich nicht beschränkt ist, dann sind die beiden Grenzwerte
f_0595
zu bestimmen.
Anders ausgedrückt:
Man betrachtet den Verlauf der Funktionswerte für große x- Werte in sowohl positiver als auch negativer Richtung und fragt sich, wohin gehen die Funktionswerte.

Beispiel einer ausführlichen Kurvendiskussion

1. Definitionsbereich:
f_0596
Die Funktion ist für alle reellen Zahlen definiert. Normalerweise gilt das immer für ganzrationale Funktionen. Es sei denn, man möchte die Definitionsmenge einschränken.
2. Symmetrien:
Da alle Exponenten gerade sind, liegt eine Achsensymmetrie vor,
f_0597
Der Vorteil bei vorliegen einer Achsensymmetrie besteht darin, dass Funktionswerte nur für positive x- Werte berechnet werden müssen. Für die entsprechend negativen x- Werte sind sie identisch.
3. Extrema:
Vorgehensweise zur Berechnung der Extrempunkte.
Man bildet die ersten beiden Ableitungen der Funktion f(x).
Nullsetzen der 1. Ableitung liefert die Stellen mit waagerechter Tangente.
Setzt man diese Werte in die 2. Ableitung ein, so erhält man eine Aussage über die Art des vorliegenden Extremums.
(Relatives Maximum oder relatives Minimum, bzw. kein Extrempunkt).
Die Werte der Extremstellen xi eingesetzt in die Funktionsgleichung ergeben die Extremwerte und damit sind die Koordinaten der Extrempunkte bekannt.
f_0598
Lösungen mit dem Casio fx-CG 20
4. Wendepunkte:
Vorgehensweise zur Berechnung der Wendepunkte:
Zusätzlich zu den ersten beiden Ableitungen von f(x) bildet man noch die dritte.
Die Nullstellen der zweiten Ableitung sind mögliche Wendestellen.
Zur Überprüfung ob ein Wendepunkt vorliegt, werden die errechneten Nullstellen der zweiten Ableitung in die dritte Ableitung eingesetzt.
Ist das Ergebnis ungleich Null, so bezeichnet der entsprechende x- Wert eine Wendestelle. Den dazugehörigen Funktionswert erhält man durch Einsetzen der x- Werte in den Term der Funktionsgleichung f(x).
f_0599
Lösungen mit dem Casio fx-CG 20
5. Achsenschnittpunkte:
f_0600
Lösungen mit dem Casio fx-CG 20
6. Wertetabelle und Graph:
f_0601
Lösungen mit dem Casio fx-CG 20
mc_110 f_0602
7. Krümmungsverhalten und Monotonie:
f_0603
8. Randpunkte des Definitionsbereiches:
f_0604


Berechnungen mit dem GTR Casio fx-CG20   GTR-Übersicht

Berechnen Sie die Extrempunkte von
f_1944
Funktionsgleichung mit dem Grafikeditor eingeben und anzeigen:
g_0001

Um den Graphen optimal anzuzeigen, wird das Betrachtungsfenster auf
x: [ -4 ; 4 ] und y: [ -7 ; 5 ] eingestellt.
g_0002

Extremwerte:
g_0003

Pmax ( 0 | -2,25 ) ; Pmin1 ( -2 | -6,25 ) ; Pmin2 ( 2 | -6,25 )

gtr_0001
Mit [EXIT] gelangt man zurück in den Grafikeditor.

Berechnen Sie die Wendepunkte von
f_1944
Im Grafikeditor trägt man unterhalb von Y1 f' und f'' wie folgt ein:
g_0004

Die Wendestelle liegt dort, wo die zweite Ableitung Null ist.
g_0005

Die Wendestellen liegen bei xw1 = -1,1547.. und xw2 = 1,1547..
gtr_0002

Der zugehörige Wendepunkt hat die Koordinaten:
g_0006

Pw1 ( -1,1547.. | -4,472..) ; Pw2 ( 1,1547.. | -4,472..)

Diese Werte sind ungenau, mit SolveN erfolgt die Berechnung präziser.

Die Nullstellen von f''(x) = 3x2 - 4 liefern die Wendestellen.
Die Nullstellen von f''(x) also xw1 und xw2 werden mit SolveN berechnet und in Liste 3 abgespeichert.
g_0007

Eingabeprozedur:
g_0008

Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte von
f_1944
Die Grafik der Funktion ist im Betrachtungsfenster aufgerufen.
Mit S[Sketch] {Cls} kann der Graph neu gezeichnet werden.

Schnittpunkt mit der y-Achse:
g_0009

Nullstellen oder Schnittpunkte mit der x-Achse:
g_0010

Py ( 0 | -2,25 ) und Px1 ( -3 | 0) ; Px2 ( 3 | 0)

gtr_0003

Wertetabelle erstellen für
f_1944
Für das Intervall [ -4 ; 4 ] soll eine Wertetabelle mit der Schrittweite 1 erstellt werden.
g_0011

Wertetabelle (gerundet auf 2 Stellen):
g_0012


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Kurvendiskussion
Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen


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Nullstellenfinder
Mit diesem JavaScript lassen sich Nullstellen von Polynomen bis 9. Grades bestimmen.
Der Funktionsgraph wird gezeichnet.


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Funktionenplotter
Geben Sie die Funktionsgleichung der diskutierten Funktion ein und analysieren Sie den Graphen