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Wendepunkt, Sattelpunkt
und Wendetangente
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Vorbetrachtungen und Begriffserklärungen

Sie starten mit dem Fahrrad bei A, durchfahren eine S - Kurve und fahren dann weiter bis B.
Betrachten Sie mal die jeweilige Lenkerstellung auf der Fahrstrecke.
Nach Durchfahren der Linkskurve (Lenkerstellung nach links) fahren sie durch die Rechtskurve (Lenkerstellung nach rechts).
des_063
Irgendwo zwischen der Linkskurve und der Rechtskurve muss der Lenker mal gerade gestanden haben.
Diesen Wechsel zwischen Linkskurve und Rechtskurve nennen wir Wendepunkt.
Sie fahren mit dem Fahrrad durch hügeliges Gelände.
Nachdem Sie die Talsohle durchfahren haben, beginnt die Straße anzusteigen.
Erst sanft, dann immer stärker.
Dann nimmt die Steigung wieder ab um oben auf dem Berg den Wert Null zu erreichen.
Irgendwo auf der Strecke war der Anstieg am größten.
Dort befindet sich der Wendepunkt.
des_064
Eine andere Situation des Radfahrers ist nebenstehender Grafik zu entnehmen:
Bei einer Bergfahrt nimmt die Steigung zunächst ab, um dann erneut wieder anzusteigen.
Dazwischen befindet sich ein Gebiet mit geringer Steigung (Plateau).
Im Bereich des Plateaus ist der Anstieg der Strecke am geringsten.
Dort befindet sich der Wendepunkt.
des_065

Wir wissen, das die erste Ableitung einer Funktion die Steigungsfunktion ist, aus deren Graphen man die Steigung ablesen kann.
Da der Wendepunkt der Punkt mit der größten oder auch kleinsten Steigung sein soll, findet man ihn, indem man die Extremwerte der Ableitungsfunktion bestimmt.
Das Verfahren ist das gleiche, wie bei der Bestimmung der Ursprungsfunktion f(x), bezieht sich aber jetzt auf die Ableitungsfunktion f'(x).

Fassen wir die Bedingungen für Wendepunkte zusammen:
f_0579

Kommentiertes Beispiel:

   
 
f_0580 des_066

Merke f_0581

Training:
Wendepunkte ganzrationaler Funktionen
Untersuchen Sie die folgenden ganzrationalen Funktionen auf Wendestellen und bestimmen Sie ggf. die Wendepunkte.
1. 01 Ergebnis 2. 02 Ergebnis
3. 03 Ergebnis 4. 04 Ergebnis
5. 05 Ergebnis 6. 06 Ergebnis
7. 07 Ergebnis 8. 08 Ergebnis
9. 09 Ergebnis 10. 10 Ergebnis
 

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Geben Sie die Funktionsgleichung und die ersten drei Ableitungen ein.

Der Sattelpunkt

Eine besondere Form des Wendepunktes ist der Sattelpunkt.
Das ist ein Wendepunkt mit der Steigung Null.
Nähert man sich von links, so glaubt man es käme ein relatives Maximum.
Nähert man sich von rechts, so glaubt man es käme ein relatives Minimum.
Es gibt jedoch keine Extremwerte.

Wir untersuchen diesen Fall nun mathematisch:

f_0582
mc_107
f_0583

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Ermittlung der Wendetangente

Die Tangente an den Funktionsgraphen im Wendepunkt heißt Wendetangente.
Die Gleichung der Wendetangente wird ebenso bestimmt wie die Tangentengleichung in einem beliebigen Punkt des Graphen.

  Beispiel:
 
f_0584 mc_108
f_0585

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Beispiel aus der Kostenrechnung

Für welche Ausbringungsmenge x wird bei gegebener Kostenfunktion der Kostenzuwachs am geringsten?
f_0586

   
 
f_0587 f_0588
mc_109