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Zusammenfassung:
Von der Sekantensteigung
über die Tangentensteigung
zur Steigungsfunktion
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Die Steigung einer Geraden

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Steigungsformel für eine Gerade:
f_1409

  Beispiel:
  f_1410

f_1411


Wir überprüfen die Gültigkeit dieser Formel mit obigem Beispiel.

f_1412

Die Steigung einer Geraden lässt sich also auch mit dem Differenzenquotienten bestimmen.

Sekantensteigung und Tangentensteigung

Problem:
Wie groß ist die Steigung des Graphen einer beliebigen Funktion f(x) im Punkt P0?

Die Sekantensteigung ist die mittlere Steigung zwischen den Punkten P0 und P1.

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Was geschieht mit der Sekante, wenn wir den Punkt P1 immer weiter in Richtung P0 bewegen?

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Die Sekante schmiegt sich immer mehr dem Graphen von f(x) an.
Wenn P1 auf P0 trifft, gibt es keine Sekante mehr. Sie ist dann zur Tangente geworden.

Die Tangente ist eine Gerade, die den Graphen von f(x) im Punkt P0 berührt. Per Definition ist die Steigung eines Graphen in einem Punkt P0 gleich der Steigung der Tangente an dem Graphen in diesem Punkt.

Differenzenquotient, Differentialquotient Ableitung und Steigungsfunktion

Um die Steigung eines Graphen f(x) an der Stelle x0 also im Punkt P0 ( x0 | f(x0) ) zu berechnen, lässt man in der Formel für die Sekantensteigung das "delta x" immer kleiner werden, was einer Verschiebung des Punktes P1 in Richtung P0 entspricht.

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Grenzwertbildung bedeutet "delta x" strebt gegen Null, wird also beliebig klein ohne exakt Null zu werden. Würde man für "delta x" den Wert Null einsetzen, so entstünde ein undefinierter Ausdruck.

f_1414

Merke f_1415

Ableitungsbeispiel:

f_1416

des_151 Statt Ableitungsfunktion f'(x) sagt man auch Steigungsfunktion, da diese Funktion für jeden Funktionswert x die Steigung der abgeleiteten Funktion an der Stelle x angibt.

Nebenstehend ist der Graph einer Funktion, sowie der ihrer Ableitungsfunktion in einem Koordinatensystem dargestellt.

Beachten Sie:
An den Extremstellen ( Hochpunkt, Tiefpunkt) hat die Ableitungsfunktion jeweils den Wert Null.

An der Wendestelle (W) hat die Ableitungsfunktion einen Extremwert.

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Erste und zweite Ableitung
Dieses Applet hilft, die zweite Ableitung (die Änderungsrate der Änderungsrate) einer Funktion zu verstehen.