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Der Gauß- Algorithmus zm_012 word pdf

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Der Gauß- Algorithmus

Der Algorithmus von Gauss ist das universelle Verfahren zur Lösung beliebiger linearer Gleichungssysteme.

  Einführungsbeispiel:
 
f_0274 Es wird zeilenweise gearbeitet.

Zeilen darf man:
    - vertauschen
    - mit einer Zahl multiplizieren
    - durch eine Zahl dividieren
    - addieren
    - subtrahieren

* bedeutet irgendeine Zahl

Spalten dürfen ebenfalls vertauscht werden, wenn die Variable xi mitgenommen wird

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Hinweis für blutige Anfänger:
Die Vorgehensweise kann in einzelne kleine Schritte zerlegt werden.

 
1. Brüche vermeiden durch zeilenweise Multiplikation mit dem Hauptnenner.
2. Die erste Zahl in der ersten Zeile soll positiv sein (ev. mit -1 multiplizieren).
3. Sorgen Sie durch Multiplikation oder Division dafür, dass in der ersten Spalte alle Zahlen den gleichen Betrag haben. In Zeile 2 und 3 soll die erste Zahl negativ sein.
4. Addieren Sie zur 2. und zur 3. Zeile jeweils die erste. Dadurch entstehen in der erstenSpalte 2 Nullen.
5. Die zweite Zahl in der 2. Zeile soll positiv sein (ev. mit -1 multiplizieren).
6. Sorgen Sie durch Multiplikation oder Division dafür, dass ab der 2. Zeile in der zweiten Spalte alle Zahlen den gleichen Betrag haben. In Zeile 3 soll die zweite Zahl negativ sein.
7. Addieren Sie zur 3. Zeile die 2. Zeile. Dadurch entsteht in der 3. Zeile die 2. Null.
8. Ermittlung der Lösung durch Rückwärts einsetzen.

Die gleiche Vorgehensweise kann auch auf Systeme mit mehr als drei Gleichungen übertragen werden.

Die Umformungen kann man auch anders durchführen. Das "wie" ist ganz dem Geschick des Mathematikers überlassen. Erst durch intensive Übung gelangt man zu einem optimalen Weg. Brüche sind möglichst zu vermeiden um keine unnötigen Fehler zu riskieren. Wer fit ist, kann auch mehrere Umformungen gleichzeitig machen, dadurch ist weniger zu schreiben, die Fehlerquote steigt aber.

 
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  Beispiel 1: (leicht)
 
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  Beispiel 2: (mittelschwer)
 
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  Beispiel 3: (schwer)
 
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Anwendungsbeispiele
Anwendung des Gauß- Algorithmus zur Berechnung der Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion von der 4 Punkte bekannt sind.

Anwendungsbeispiel 1:

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Anwendungsbeispiel 2:

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Anwendungsbeispiel 3:

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Anwendungsbeispiel 4:

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Anwendungsbeispiel 5:

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Anwendungsbeispiel 6:

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Anwendungsbeispiel 7:

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Anwendungsbeispiel 8:

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Anwendungsbeispiel 9:

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Anwendungsbeispiel 10:

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Aufgaben
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Zur Ergebniskontrolle ist die Probe durchzuführen