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Relationen und Funktionen zm_062 word pdf

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Der Relationsbegriff

Eine Familie, bestehend aus den Eltern und einem Kind, tritt per Flugzeug ihre Urlaubsreise an.
Kurz vor dem Start geht die Stewardess mit einem Tablett herum, auf dem Kaugummi, Pfefferminz und Fruchtbonbons angeboten werden.
Durch ein Pfeildiagramm wird gezeigt, wer von den dreien zu welchen der angebotenen Süßigkeiten greift.

  Vater greift zu Pfefferminz und Fruchtbonbon Mutter greift zu Fruchtbonbon Kind greift zu Kaugummi und Fruchtbonbon.

D = Definitionsmenge
W = Wertemenge

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Auf diese Weise entstehen geordnete Paare, die man zu einer Relation R zusammenfassen kann.

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Relation Eine Paarmenge, bei der die Elemente aufgrund einer Zuordnungsvorschrift gebildet werden, heißt Relation.

Würde jedes Familienmitglied, also Vater Mutter und Kind von jeder der angebotenen Süßigkeiten nehmen, so erhielte man eine besondere Relation, die Produktmenge D x W.

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Die Produktmenge D x W umfasst alle Zuordnungsmöglichkeiten (jeder nimmt von jedem). Damit ist auch jede Teilmenge der Produktmenge eine Relation.

Produktmenge f_724

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Darstellung von Relationen

Eine Zahl kann man als Punkt auf der Zahlengeraden darstellen. Bei einem Zahlenpaar benutzt man dafür die Zahlenebene. Zwei Zahlengeraden kreuzen sich senkrecht und bilden ein Gitternetz. Dafür werden jetzt neue Begriffe eingeführt.

Die waagerechte Zahlengerade heißt x - Achse oder Abszissenachse, die senkrechte y - Achse oder Ordinatenachse.
Der Schnittpunkt der x - und der y - Achse heißt 0 - Punkt oder Ursprung. Die Einteilung der Zahlenabschnitte in Einheiten kann auf beiden Achsen verschieden sein.
Die beiden Komponenten eines Zahlenpaares oder allgemein eines Variabelenpaares (x | y) nennt man Koordinaten.
Dabei steht die Abszisse (x - Koordinate) an erster Stelle, die Ordinate (y - Koordinate) an zweiter Stelle des Variabelenpaares. Zu jedem Zahlenpaar (x | y) gehört ein Bildpunkt P (x | y).

  Das nebenstehende Gitternetz heißt nach dem französischen Mathematiker und Philosophen Rene Descartes rechtwinkliges oder Kartesisches Koordinatensystem. Die Achsen teilen das Koordinatensystem in 4 Felder(Quadranten) I., II., III., und IV. An dem Vorzeichen der Koordinaten erkennt man, in welchem Quadranten der betreffende Punkt liegt. P1 (2 | 3) liegt im I. Quadranten
P2 (-2 | 1) liegt im II. Quadranten
P3 (-2 | -3) liegt im III. Quadranten
P4 (2 | -3) liegt im IV. Quadranten
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film02 Video 1 Von OberPrima Koordinatensystem:
Hierzu gibt Olaf Hinrichsen in einem Video auf seiner sehenswerten Webseite
http://oberprima.com ausführliche Informationen.

 
film02 Video 2 Von OberPrima Bestimme die Lage der Punkte im Koordinatensystem
Hierzu gibt Olaf Hinrichsen in einem Video auf seiner sehenswerten Webseite
http://oberprima.com ausführliche Informationen.

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Koordinaten ablesen
In einem rechtwinkligen Koordinatensystem sollen die Koordinaten eines Punktes abgelesen werden.

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Kartesische Koordinaten
Dieses Applet ist ein einfaches dynamisches Diagramm, das den Zusammenhang zwischen der Position eines Punktes in der Zeichenebene und seinen (kartesischen) Koordinaten darstellt.

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Zeichenebene und Koordinatensystem
Dieses Applet stellt in einem dynamischen Diagramm den Zusammenhang zwischen der Position von Punkten in der Zeichenebene und ihren Koordinaten in etwas komplexeren Situationen als im obigen Applet dar. Es können Punkte markiert, Strecken gezogen und mit Hilfe des Cursors Koodinaten abgelesen werden.

Beispiel:
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d) Der Graph der Relation besteht nur aus Punkten.
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e) Der Graph der Relation in IR x IR besteht aus einer durchgezogenen Linie.

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Der Funktionsbegriff

Eine halbe Stunde nach dem Start geht die Stewardess wieder mit einem Tablett herum und bietet Zeitschriften an.
Auf dem Tablett liegen eine Frankfurter Allgemeine Zeitung, ein Modejournal und ein Comicheft.

  Der Vater greift zur FAZ.
Die Mutter greift zum Modejournal.
Das Kind greift zum Comicheft.
Auf diese Weise entsteht eine eindeutige Relation.

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Eindeutige
Relation
Eine Relation heißt eindeutig, wenn jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Wertemenge zugeordnet ist. des_035

Eineindeutige
Relation
Eine Relation heißt eineindeutig, wenn die Zuordnung auch umkehrbar eindeutig ist, d.h. wenn jedem Element aus D genau ein Element aus W und jedem Element aus W genau ein Element aus D zugeordnet ist. des_036

Funktion Eine zumindest eindeutige Relation R heißt Funktion f

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Darstellungsarten von Funktionen

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Die Funktion f ist die Menge aller geordneten Paare (x | y), für die die Funktionsgleichung y = f(x) gilt in der Grundmenge D x W.

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Die Funktion f ist definiert als die Zuordnung: x wird zugeordnet einem f(x) mit der Funktionsgleichung f(x) = y in der Grundmenge D x W.

Im folgenden wird die Mengenschreibweise bevorzugt.

Beispiel: f_732 Graph
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