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Wurzel- und Exponentialgleichungen zm_039 word pdf

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Wurzelgleichungen

Gleichungen in denen Wurzelterme vorkommen nennt man Wurzelgleichungen. Im folgenden Beispiel soll das Lösungsverfahren genauer betrachtet werden.

f_694

Wie bei allen Gleichungen gehören zur Lösungsmenge von Wurzelgleichungen nur Elemente aus der Definitionsmenge D, die für jede Gleichung zu bestimmen ist.

Rechnung:
Bezeichnet man den linken Wurzelterm mit T1 und den rechten mit T2 so gilt: f_695
Da die Definitionsmenge von Quadratwurzeln keine negativen Radikanden in IR zulässt, gilt: f_696
Definitionsmenge von T1: f_697
Definitionsmenge von T2: f_698
Die Definitionsmenge D ist die Schnittmenge der Definitionsmengen, von T1 und T2.
Es gehören also nur solche Elemente zur Definitionsmenge, die größer oder gleich -1/5 sind.
f_699
Zur Bestimmung der Lösungsmenge müssen die in der Gleichung vorkommenden Quadratwurzeln beseitigt werden. Das geschieht durch Quadrieren beider Seiten der Gleichung. Ausmultiplizieren und Äquivalenzumformungen nach x.
f_700 Zur Probe wird das Lösungselement in die Wurzelgleichung eingesetzt:

f_701

Durch das Einsetzen von x = 3 in die Wurzelgleichung ergibt sich eine wahre Aussage, die die Richtigkeit der Lösung bestätigt.

 
Folgendes Problem kann sich ergeben:
Ist das Potenzieren der Quadratwurzeln eine Äquivalenzumformung, oder kann durch das Quadrieren noch ein weiteres Element hinzukommen, das gar nicht zu der ursprünglichen Gleichung gehört?
f_702

Durch das Quadrieren ist also das Element -3 zusätzlich hinzugekommen. Es ist daher nicht nur wichtig, sondern unbedingt erforderlich, nach einer Umformung durch Potenzieren auf beiden Seiten der Gleichung die Probe zu machen.

Beispiel: f_703 f_704 f_705

Das bedeutet, es gibt keinen Wert für x der obige Gleichung erfüllt.

Beispiel: f_706 f_707
  f_708 f_709
  f_710

Beispiel: f_711
  f_712 f_713
  f_714

Exponentialgleichungen

Aussageformen, bei denen die Lösungsvariable in Exponenten von Wurzeln oder Potenzen vorkommen, heißen Exponentialgleichungen oder - ungleichungen.
Die Lösungsmengen solcher Aussageformen lassen sich meistens durch Anwendung der Logarithmengesetze ermitteln.

Beispiel: f_715 f_716

f_717
Eine Lösung mittels Exponentenvergleich ist nur dann möglich, wenn es gelingt, die Terme auf beiden Seiten der Aussageform so umzuformen, dass sich Potenzen mit gleichen Basen ergeben.

Beispiel f_718 f_719

Exponentialgleichungen, in denen Summen oder Differenzen vorkommen, können nicht logarithmiert werden. Man kann versuchen, sie mittels Substitution (Einsetzung einer Ersatzvariablen) zu lösen.

Beispiel f_720 f_721