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Verknüpfung von Mengen zm_035 word pdf

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Durch Verknüpfungen von Mengen lassen sich andere Mengen bilden, die zu ihren Ausgangsmengen in bestimmten Beziehungen stehen. Dies ist in der Mathematik von Bedeutung, um Schreibweisen zu vereinfachen und das Erkennen von Strukturen zu erleichtern. Die wichtigsten Verknüpfungen sind Schnittmenge, Vereinigungsmenge, Restmenge und Produktmenge.

Die Schnittmenge

Schnittmenge Die Schnittmenge ist diejenige Menge, deren Elemente sowohl in der einen als auch in der anderen Ausgangsmenge enthalten sind.

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  des_005 Die Menge C ist die Schnittmenge von A und B oder kurz ausgedrückt, C ist gleich A geschnitten B

Die Schnittmengenbildung ist nicht auf zwei Mengen beschränkt.
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Beispiel: Gegeben sind die Mengen A und B mit A = {a ; b ; c ; d ; e ; f ; g} und B = {e ; f ; g ; h ; i ; j}
Die Schnittmenge soll ermittelt werden.
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des_006 Die Elemente e, f und g sind sowohl in der Menge A als auch in der Menge B enthalten.

Beispiel: Die Schule bietet Kurse in Fotografie, Informatik und Digitaltechnik an, die die Schüler auf freiwilliger Basis besuchen können. Von der Klasse SF33S mit 20 Schülern wählen:
 
Neun Schüler den Fotokurs F des_007
Zwölf Schüler den Informatikkurs I und des_008
Elf Schüler den Digitalkurs D des_009
Drei Schüler belegen F und I, sind also in beiden AG's des_010
Fünf Schüler belegen F und D des_011
Sechs Schüler belegen I und D des_012
Zwei Schüler belegen alle drei AG's also F, I und D des_013
  Wie viele Schüler besuchen nur einen Kurs?

Rechnung:
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  Über die gesamte Anzahl der Elemente in der Menge F, I und D lässt sich der verbleibende Rest in der Mengenschleife ermitteln. Damit belegen 10 Schüler nur einen Kurs.

Mit Hilfe der Schnittmenge können bestimmte Strukturen innerhalb der Mengenlehre erkannt werden.

Satz Wenn B eine Teilmenge von A ist, so ist die Schnittmenge von A und B gleich der Menge B.

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  des_015 Diese Implikation lässt sich mit Hilfe der Mengendiagramme nachweisen.

Satz Die Schnittmenge disjunkter (elementfremder) Mengen ist leer.

Bildet man die Schnittmenge zweier elementfremder (disjunkter) Mengen, so findet sich kein Element, dass sowohl in der einen als auch in der anderen Menge enthalten ist. Diese Menge, die kein Element enthält, heißt leere Menge.

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Das Kurzzeichen für die leere Menge wird mit dem Symbol Ø gekennzeichnet.

Satz Für die Schnittmengenbildung gilt das Kommutativgesetz.

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  des_017 Der anschauliche Nachweis ist auch hier wieder über die Mengendiagramme ersichtlich.

Die Vereinigungsmenge

Vereinigungsmenge Die Vereinigungsmenge ist diejenige Menge, deren Elemente entweder in der einen Menge oder in der anderen Menge oder in beiden enthalten sind.

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  des_018 Die Menge C ist die Menge A vereinigt mit der Menge B.

Es können auch mehrere Mengen miteinander vereinigt werden:
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Beispiel: Gegeben sind die Mengen A und B in beschreibender Form:

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Die Vereinigungsmenge soll ermittelt werden.

Die Mengen A und B in aufzählender Form:
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Die Vereinigungsmenge in aufzählender und beschreibender Form:
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Beispiel:
Im vorangegangenem Beispiel zur Schnittmenge sind die Mengen F, I und D angegeben. des_007
Es handelt sich dabei um Schüler, die die Kurse Fotografie (F), Informatik (I) und Digitaltechnik (D) belegen. des_008
Welche Elemente enthält dann die Vereinigungsmenge dieser drei Mengen, und wie ist diese Menge entsprechend der Aufgabe zu beschreiben? des_009

Rechnung:
Die Vereinigungsmenge enthält 20 Elemente (Schüler) und zwar sind es alle Schüler der Klasse SF23S, die Kurse wählen konnten.
F vereinigt I vereinigt D = {Schüler der Klasse SF23S}
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Satz Ebenso wie die Schnittmengenbildung ist die Bildung der Vereinigungsmenge kommutativ.

  des_019 Der Nachweis erfolgt über die Mengendiagramme.

Satz Ist A Teilmenge von B, so ist die Vereinigungsmenge von A und B gleich der Menge B.

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  des_020 Der Beweis erfolgt wieder über die Mengenbilder.

Die leere Menge zeigt sich bezüglich der Vereinigungsmengenbildung als neutrales Element, d.h. die Vereinigung mit der leeren Menge führt zu keiner Veränderung gegenüber der Ausgangsmenge.
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Die Restmenge

Restmenge Die Restmenge A ohne B zweier Mengen A und B ist die Menge der Elemente, die in der Menge A, aber nicht in der Menge B enthalten sind.

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Die Restmenge C ist die Menge A ohne die Elemente der Menge B.
C= A\B Symbol für ohne: \

Satz Die Restmengenbildung ist nicht kommutativ.

  des_022 f_055
Der direkte Beweis erfolgt über die Mengenbilder.

Beispiel: f_056

Die Produktmengenverknüpfung

Paarmenge Eine Paarmenge ist eine Menge, deren Elemente aus Wertepaaren bestehen, deren Ordnung festgelegt ist.

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Der Begriff Ordnung bedeutet, es ist festgelegt, welche Komponente des Wertepaares an erster Stelle geschrieben wird.

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Produktmenge Die Produktmenge der Mengen A und B ist die Menge aller möglichen geordneten Paare, mit der Ordnung steht an erster Stelle und steht an zweiter Stelle im Wertepaar.

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Die Produktmenge zweier Mengen ist nicht kommutativ, da die Ordnung in den Elementen der beiden Mengen verschieden ist.

Beispiel: f_060

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Definitionen von Mengen
Externer Link zu
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