Startseite
Entwicklung der Zahlenmengen zm_311 word pdf

Feedback     Interesse an einer CD ?    

Entwicklung der Zahlenmengen

  In der Mathematik werden die Rechenoperationen mit Hilfe von Zahlen definiert. Durch die Entwicklung der Rechenarten von der Addition bis hin zum Logarithmieren wurde die Unzulänglichkeit der Zahlenmenge offenbar, mit der gerade operiert wurde. So bestand der zuerst bekannte Zahlenbereich aus Zahlen, die zum Abzählen benötigt wurden, also die positiven ganzen Zahlen, die als natürliche Zahlen bezeichnet werden. In der Mengenlehre sind die Zahlen als Elemente von Zahlenmengen festgelegt, in den sogenannten Standardmengen.

Natürliche Zahlen. f_030

Definition Die Menge der natürlichen Zahlen IN enthält die Zahlen, die zum Abzählen benötigt werden einschließlich der Zahl Null.

  Die Definition ordnet das Element 0 der Menge der natürlichen Zahlen IN zu. Obwohl dies vom Begriff des Abzählens nicht direkt einzusehen ist, wird dadurch jedoch die Symbolik der Zahlengrundmengen vereinfacht. Aber auch die Schreibweise von Indizes an Koeffizienten beginnt meist mit 0.

Beispiel: f_031

  Innerhalb der natürlichen Zahlen ist die Verknüpfung Addition abgeschlossen, d. h. die Addition zweier natürlicher Zahlen führt wieder zu einer natürlichen Zahl.

Beispiel: f_032

  Die Subtraktion ist in IN nicht abgeschlossen, da nicht jede dieser Verknüpfungen wieder zu einem Element aus IN führt.

Beispiel: f_033

  Die Zahlenmenge muss also so erweitert werden, dass die Verknüpfung Subtraktion uneingeschränkt möglich ist.
Diese Zahlenmenge ist die Menge der ganzen Zahlen

Ganze Zahlen Die Menge der ganzen Zahlen enthält die Elemente der Menge der natürlichen Zahlen und alle negativen ganzen Zahlen.

Ganze Zahlen. f_034

  In z sind die Verknüpfungen Addition, Subtraktion und Multiplikation abgeschlossen. Bei der Division zeigt sich jedoch wieder die Unzulänglichkeit dieser Zahlenmenge.

Beispiel: f_035

  Die Erweiterung der Menge der ganzen Zahlen um die Bruchzahlen führt zur Menge der rationalen Zahlen, in der die Division nahezu uneingeschränkt möglich ist. Die Division durch Null ist nicht erlaubt.

Rationale Zahlen f_036

  In der Mengenschreibweise sieht das so aus:
f_037

  Nach DIN 5473 werden die Standardmengen mit einem Stern gekennzeichnet, wenn das Element 0 nicht enthalten sein soll, also
 

f_023

  Für jede rationale Zahl gibt es unendlich viele Schreibweisen, so dass in der aufzählenden Form der Menge nur die Repräsentanten (nicht mehr kürzbare Brüche) aufgeführt werden.

Beispiel: f_038

  f_039

  Da diesen Zahlen wie den rationalen Zahlen wirklich ein Punkt auf dem Zahlenstrahl zugeordnet ist, nennt man alle Zahlen, denen genau ein Punkt auf dem Zahlenstrahl zugeordnet ist, die Menge der reellen Zahlen.

Reelle Zahlen Die Menge der reellen Zahlen ist die Menge aller Punkte des Zahlenstrahls.
Symbol: r

Beispiel: des_004

Bemerkung In der Menge der reellen Zahlen sind die Verknüpfungen Addition, Subtraktion Multiplikation, Potenzieren, uneingeschränkt und die Division ohne Divisor 0 möglich.

  Die Verknüpfungen Radizieren und Logarithmieren sind nicht uneingeschränkt möglich.

f_040

  Diese Verknüpfungen sind in einer nochmals erweiterten Zahlenmenge abgeschlossen, der Menge der komplexen Zahlen.

  Applet  
Auf den Button
oder hier klicken
Definitionen von Mengen
Externer Link zu
http://www.mathe-online.at/mathint/mengen/applet_b_mdef.html