Eigenschaften von Mengen

Durch die Angabe der Kriterien für die beschreibende Form von Mengen werden die Elemente der zu bestimmenden Menge aus einer umfangreicheren Menge ausgewählt.

Beispiel:

A ist die Menge aller natürlichen Zahlen zwischen 1 und 10 und die Elemente sind Quadratzahlen.

B ist die Menge aller natürlichen Zahlen zwischen 1 und 10.

C ist die Menge der natürlichen Zahlen.

In dieser Beschreibung treten drei Kriterien auf, die ausgehend von einer Grundmenge ( Menge C ) über eine Obermenge ( Menge B ) zu der zu bestimmenden Menge A führen.

C = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; .... }
B = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10 }
A = { 1; 4; 9 }

Bei der Betrachtung der Mengen A, B, C zeigen sich bereits bestimmte Eigenschaften von Mengen:
Die Menge der natürlichen Zahlen hat unendlich viele Elemente. Sie wird im Gegensatz zu den Mengen A und B, die endlich viele Elemente enthalten, als nicht endliche Menge bezeichnet.
Weiterhin ist erkennbar, dass alle Elemente von A in B und C enthalten sind und alle Elemente von B auch in C enthalten sind. Dieser Sachverhalt wird mit dem Begriff Teilmenge definiert.

Teilmenge

Eine Menge A ist Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist.

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Meist werden die Kriterien für Mengen so gewählt, dass ihre Elemente einer Grundmenge entnommen werden, also die zu bestimmende Menge Teilmenge der Grundmenge ist. Da diese Grundmengen in der Mathematik oft Zahlenmengen sind, wird die Schreibweise dadurch vereinfacht, dass die Grundmenge als Index der Mengenklammer hinzugeführt wird.

Vergleicht man zwei Mengen miteinander, so ist eine Ordnungsstruktur im Sinne von größer oder kleiner als nicht sinnvoll. Der Vergleich zweier Mengen kann sich daher nur auf andere Eigenschaften beziehen, so z. B. auf die Anzahl der Elemente. Diese Anzahl bezeichnet man als Mächtigkeit der Menge. Die Zahl selbst heißt Kardinalzahl.

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Äquivalenz

Zwei Mengen heißen äquivalent, wenn sie gleichmächtig sind.

Die Äquivalenz zweier Mengen lässt sich durch Zuordnung der Elemente feststellen.

Bemerkung

Zwei Mengen A und B sind äquivalent, wenn jedem Element von A genau ein Element von B zugeordnet werden kann und umgekehrt.

Um die Gleichheit von Mengen festzustellen, muss geprüft werden, ob die beiden Mengen dieselben Elemente enthalten.

Mengengleichheit

Zwei Mengen sind gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.

Beispiel gleicher Mengen:

Die Menge A ist gleich der Menge B, da sie dieselben Elemente enthält. Dabei ist die Reihenfolge der Elemente unerheblich. Auch über die Teilmengenbezeichnung kann auf die Gleichheit von Mengen geschlossen werden.

Satz

Ist die Menge A Teilmenge der Menge B und die Menge B Teilmenge der Menge A, so ist die Menge A gleich der Menge B.

Plausibilitätsbeweis:

A ist Teilmenge von B. Damit ist jedes Element von A auch Element von B.
B ist Teilmenge von A. Damit ist jedes Element von B auch Element von A.
Also sind beide Mengen gleich.