Startseite
Eigenschaften von Mengen zm_150 word pdf

Feedback     Interesse an einer CD ?    

 

Durch die Angabe der Kriterien für die beschreibende Form von Mengen werden die Elemente der zu bestimmenden Menge aus einer umfangreicheren Menge ausgewählt.

  Beispiel:
 

A ist die Menge aller natürlichen Zahlen zwischen 1 und 10 und die Elemente sind Quadratzahlen.

f_021

B ist die Menge aller natürlichen Zahlen zwischen 1 und 10.

f_022

C ist die Menge der natürlichen Zahlen.

In dieser Beschreibung treten drei Kriterien auf, die ausgehend von einer Grundmenge ( Menge C ) über eine Obermenge ( Menge B ) zu der zu bestimmenden Menge A führen.

C = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; .... }
B = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10 }
A = { 1; 4; 9 }

Bei der Betrachtung der Mengen A, B, C zeigen sich bereits bestimmte Eigenschaften von Mengen:
Die Menge der natürlichen Zahlen hat unendlich viele Elemente. Sie wird im Gegensatz zu den Mengen A und B, die endlich viele Elemente enthalten, als nicht endliche Menge bezeichnet.
Weiterhin ist erkennbar, dass alle Elemente von A in B und C enthalten sind und alle Elemente von B auch in C enthalten sind. Dieser Sachverhalt wird mit dem Begriff Teilmenge definiert.

Teilmenge Eine Menge A ist Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist.

f_567

Meist werden die Kriterien für Mengen so gewählt, dass ihre Elemente einer Grundmenge entnommen werden, also die zu bestimmende Menge Teilmenge der Grundmenge ist. Da diese Grundmengen in der Mathematik oft Zahlenmengen sind, wird die Schreibweise dadurch vereinfacht, dass die Grundmenge als Index der Mengenklammer hinzugeführt wird.

Vergleicht man zwei Mengen miteinander, so ist eine Ordnungsstruktur im Sinne von größer oder kleiner als nicht sinnvoll. Der Vergleich zweier Mengen kann sich daher nur auf andere Eigenschaften beziehen, so z. B. auf die Anzahl der Elemente. Diese Anzahl bezeichnet man als Mächtigkeit der Menge. Die Zahl selbst heißt Kardinalzahl.

f_568

Äquivalenz Zwei Mengen heißen äquivalent, wenn sie gleichmächtig sind.

f_569

Die Äquivalenz zweier Mengen lässt sich durch Zuordnung der Elemente feststellen.

Bemerkung Zwei Mengen A und B sind äquivalent, wenn jedem Element von A genau ein Element von B zugeordnet werden kann und umgekehrt.

  Beispiel für die Äquivalenz zweier unterschiedlicher Mengen
  des_003

Um die Gleichheit von Mengen festzustellen, muss geprüft werden, ob die beiden Mengen dieselben Elemente enthalten.

Mengengleichheit Zwei Mengen sind gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.

  Beispiel gleicher Mengen:
 

f_570

Die Menge A ist gleich der Menge B, da sie dieselben Elemente enthält. Dabei ist die Reihenfolge der Elemente unerheblich. Auch über die Teilmengenbezeichnung kann auf die Gleichheit von Mengen geschlossen werden.

Satz

Ist die Menge A Teilmenge der Menge B und die Menge B Teilmenge der Menge A, so ist die Menge A gleich der Menge B.

f_029

Plausibilitätsbeweis: A ist Teilmenge von B. Damit ist jedes Element von A auch Element von B.
B ist Teilmenge von A. Damit ist jedes Element von B auch Element von A.
Also sind beide Mengen gleich.

  Applet  
Auf den Button
oder hier klicken
Definitionen von Mengen
Externer Link zu
http://www.mathe-online.at/mathint/mengen/applet_b_mdef.html