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Mathematischer
Hintergrund
Berechnungen zum Hypothesentest III
Lösungen mit dem GTR Casio fx-CG 20   Casio fx-CG 20







Nr. A1.1 A1.2 A1.3 A2.1 A2.2 A2.3 A2.4 A2.5 A2.6
  A3.1 A3.2 A3.3 A3.4 A3.5 A3.6 A3.7 A3.8 A3.9 A3.10

Erläuterungen
  Die hier dargestellten Rechnungen sind Teilberechnungen, aus bestehenden Hypothesentestaufgaben, auf die an entsprechender Stelle verlinkt wird. Die Rechnungen wurden mit dem GTR Casio fx-CG20 durchgeführt. Abweichungen in den Ergebnissen sind darauf zurückzuführen, dass die Originalaufgaben mit Tabellenwerten entsprechender Binomialverteilungen, bzw. mit Näherungswerten der Normalverteilung berechnet wurden.

A1.1 Bei einem Erhebungsumfang von n = 100 verzeichnet man k Erfolge.
Nullhypothese: H0: p ≤ 0,6 Alternativhypothese: H1: p > 0,6
Signifikanzniveau: α ≤ 4%.
Muss für k = 75 H0 abgelehnt werden?
Wie groß ist der Fehler 2. Art, falls p = 0,7 gilt?
Wie ändert sich der Fehler 1. Art, wenn der Fehler 2. Art etwa halbiert wird?
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  Rechtsseitiger Test:
Berechnung des Ablehnungsbereichs und Überprüfung des tatsächlichen Signifikanzniveaus.
A11_1
Bei einer Anzahl von k = 69 oder mehr Erfolge, würde die Nullhypothese abgelehnt und die Alternativhypothese angenommen werden.
Der dabei auftretende Fehler (Fehler 1. Art) wäre dann etwa 3,98%.
Für k = 75 muss H0 also abgelehnt werden.

Eingabeprozedur:
A11_2

A1.2 Fehler 2. Art
Falls H0 nicht gilt, sondern p = 0,7 richtig ist, d.h. die Hypothese p = 0,6 ist falsch, aber das Stichprobenergebnis fällt zufällig in den Annahmebereich von H0, nimmt man H0 fälschlicherweise an.
Man bestimmt den Fehler 2. Art, indem man unter der Annahme, dass p = 0,7 richtig ist, die Wahrscheinlichkeit des Annahmebereichs von H0 berechnet.
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  A12_1

Falls H0 falsch und p = 0,7 richtig ist, fällt das Ergebnis dennoch zu 36,68% in den Annahmebereich von H0.
Die Nullhypothese würde fälschlicherweise angenommen werden.
Dieser Fehler heißt Fehler 2. Art. Er beträgt 36,68% und ist im Vergleich zum Fehler 1. Art mit 3,98% sehr groß.

Eingabeprozedur:
A12_2

A1.3 Fehler 2. Art wird halbiert auf etwa 0,1834.
Damit ändert sich die obere Grenze des Annahmebereichs von H0.
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  A13_1

Falls k = 65 die neue obere Grenze des Annahmebereichs ist, beträgt der Fehler 2. Art etwa 16,28%.
Dadurch vergrößert sich der Ablehnungsbereich von H0 derart, dass der Fehler 1. Art sich auf etwa 13,03% erhöht.

Eingabeprozedur:
A13_2

A2.1 Binomialverteilung mit n = 100 und p = 0,1 gesucht P( X = 10)
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  A21_1

Die Wahrscheinlichkeit für den Erwartungswert beträgt etwa 0,132.

Eingabeprozedur:
A21_2

A2.2 Binomialverteilung mit n = 100 und p = 0,1 gesucht P( X = 10).
Die Berechnung soll mit der Normalverteilungsfunktion, erfolgen.
A22_1
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  A22_2

Eingabeprozedur:
A22_3

A2.3 Binomialverteilung mit n = 100 und p = 0,1 gesucht P(6 ≤ X ≤ 14)
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  A23_1

Eingabeprozedur:
A23_2

A2.4 Binomialverteilung mit n = 100 und p = 0,1 gesucht P(6 ≤ X ≤ 14).
Die Berechnung soll mit der Normalverteilungsfunktion, erfolgen.
A24_1
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  A24_2

Eingabeprozedur:
A24_3

A2.5 Nullhypothese: H0: p = 0,1 Alternativhypothese: H1: p ≠ 0,1
Signifikanzniveau: α ≤ 5%.
Bei einem Erhebungsumfang von n = 100 verzeichnet man k Erfolge.
Es handelt sich um einen beidseitigen Hypothesentest, denn kleine, wie auch große Werte von k sprechen gegen H0.
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  Berechnung des Ablehnungsbereichs und Überprüfung des tatsächlichen Signifikanzniveaus.
A25_1

Ablehnungs-und Annahmebereich sehen dann wie folgt aus:
{ 0 ... 4 } { 5 .... 10 ... 16 } { 17 ... 100 }

Fällt die Anzahl k der Erfolge in einen der beiden Ablehnungsbereiche, wird die Nullhypothese abgelehnt und die Alternativhypothese angenommen.
Der dabei auftretende Fehler (Fehler 1. Art) wäre dann etwa 4,43%.

Eingabeprozedur:
A25_2

A2.6 Binomialverteilung mit n = 100 und p = 0,1 gesucht P(X ≤ 4) + P(X ≥ 17).
Die Berechnung soll mit der Normalverteilungsfunktion, erfolgen.
A26_1
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  A26_2

Eingabeprozedur:
A26_3

A3.1 Binomialverteilung mit n = 100 und p = 0,7 gesucht P( X = 70)
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  A31_1

Die Wahrscheinlichkeit für den Erwartungswert beträgt etwa 0,0867.

Eingabeprozedur:
A31_2

A3.2 Binomialverteilung mit n = 100 und p = 0,7 gesucht P( X < 75)
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  A32_1

Eingabeprozedur:
A32_2

A3.3 Binomialverteilung mit n = 100 und p = 0,7 gesucht P(60 ≤ X ≤ 71)
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  A33_1

Eingabeprozedur:
A33_2

A3.4 Binomialverteilung mit n = 100 und p = 0,7 gesucht P(X > 75)
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  A34_1

Eingabeprozedur:
A34_2

A3.5 Nullhypothese: H0: p = 0,7 Alternativhypothese: H1: p ≠ 0,7
Signifikanzniveau: α ≤ 10%.
Bei einem Erhebungsumfang von n = 100 verzeichnet man k Erfolge.
Es handelt sich um einen beidseitigen Hypothesentest, denn kleine, wie auch große Werte von k sprechen gegen H0.
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  Berechnung des Ablehnungsbereichs und Überprüfung des tatsächlichen Signifikanzniveaus.
A35_1

Ablehnungs-und Annahmebereich sehen dann wie folgt aus:
{ 0 ... 61 } { 62 .... 70 ... 77 } { 78 ... 100 }

Fällt die Anzahl k der Erfolge in einen der beiden Ablehnungsbereiche, wird die Nullhypothese abgelehnt und die Alternativhypothese angenommen.
Der dabei auftretende Fehler (Fehler 1. Art) wäre dann etwa 8,18%.

Eingabeprozedur:
A35_2

A3.6 Binomialverteilung mit n = 100 und p = 0,7 gesucht P( X = 70).
Die Berechnung soll mit der Normalverteilungsfunktion, erfolgen.
A36_1
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  A36_2

Eingabeprozedur:
A36_3

A3.7 Binomialverteilung mit n = 100 und p = 0,7 gesucht P( X < 75).
Die Berechnung soll mit der Normalverteilungsfunktion, erfolgen.
A37_1
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  A37_2

Eingabeprozedur:
A37_3

A3.8 Binomialverteilung mit n = 100 und p = 0,7 gesucht P(60 ≤ X ≤ 71).
Die Berechnung soll mit der Normalverteilungsfunktion, erfolgen.
A38_1
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  A38_2

Eingabeprozedur:
A38_3

A3.9 Binomialverteilung mit n = 100 und p = 0,7 gesucht P(X > 75).
Die Berechnung soll mit der Normalverteilungsfunktion, erfolgen.
A39_1
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  A39_2

Eingabeprozedur:
A39_3

A3.10 Binomialverteilung mit n = 100 und p = 0,7 gesucht P(X ≤ 61) + P(X ≥ 78).
Die Berechnung soll mit der Normalverteilungsfunktion, erfolgen.
A310_1
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  A310_2

Eingabeprozedur:
A310_3

 
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