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Mathematischer
Hintergrund
Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen IV
Lösungen mit dem GTR Casio fx-CG 20   Casio fx-CG 20







Nr. A8.1 A8.2 A8.3 A8.4 A8.4.1 A8.5 A8.6
A9.1 A9.2 A9.3 A9.4 A9.5 A9.6
A10.1 A10.2 A10.2.1 A10.3 A10.3.1 A10.4 A10.4.1 A10.5 A10.6

Erläuterungen
  Die hier dargestellten Rechnungen sind Teilberechnungen, aus bestehenden Aufgaben, auf die an entsprechender Stelle verlinkt wird.
Die Rechnungen wurden mit dem GTR Casio fx-CG20 durchgeführt.

Die Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen besteht im wesentlichen aus folgenden Schritten:
  1. Falls nicht gegeben, die Funktionsgleichung f(x) aufstellen.
  2. Die Achsenschnittpunkte berechnen.
  3. Extremwerte berechnen.
  4. Wendepunkt und Wendetangente bestimmen.
  5. Eine Wertetabelle aufstellen mithilfe der man den Graphen zeichnen kann.
  6. Graphen von f(x) und t(x) in ein geeignetes Koordinatensystem zeichnen.

A8.1 Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades verläuft durch die Punkte:
A8_1_1
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung mit dem GTR.
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Die allgemeine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades lautet:
A8_1_2
Das Gleichungssystem ist mit dem GTR zu lösen.

Eingabeprozedur:
A8_1_3
Das bedeutet: a3 = 1 ; a2 = -5 ; a1 = 2 ; a0 = 8

Die Funktionsgleichung lautet:
A8_1_4

A8.2 Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte von
A8_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Funktionsgleichung mit dem Grafikeditor eingeben und anzeigen:
A8_2_1

Um den Graphen optimal anzuzeigen, wird das Betrachtungsfenster auf
x: [ -2 ; 5 ] und y: [ -5 ; 9 ] eingestellt.
A8_2_2

Schnittpunkt mit der y-Achse:
A8_2_3

Nullstelle oder Schnittpunkt mit der x-Achse:
A8_2_4
Py ( 0 | 8 ) und Px1 ( -1 | 0) ; Px2 ( 2 | 0) ; Px3 ( 4 | 0)

A8_2

A8.3 Berechnen Sie die Extrempunkte von
A8_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Die Grafik der Funktion ist im Betrachtungsfenster aufgerufen.
Mit S[Sketch] {Cls} kann der Graph neu gezeichnet werden.
A8_3_1
Mit [EXIT] gelangt man zurück in den Grafikeditor.

A8.4 Berechnen Sie den Wendepunkt und die Wendetangente von
A8_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Falls nicht bereits geschehen, Derivative wird auf On gestellt,
damit später die Gleichung der Wendetangente angezeigt werden kann.
A8_4_1
Im Grafikeditor trägt man unterhalb von Y1 f' und f'' wie folgt ein:
A8_4_2
Um die Graphen optimal anzuzeigen, wird das Betrachtungsfenster auf
x: [ -2 ; 5 ] und y: [ -7 ; 9 ] eingestellt.
A8_4_3

Die Wendestelle liegt dort, wo die zweite Ableitung Null ist.
A8_4_4
Die Wendestelle liegt vermutlich bei xw = 5/3.

Der zugehörige Wendepunkt hat die Koordinaten:
A8_4_5

Wendetangente:
Wendetangente mit der Farbe Magneta.
An der Stelle xw = 5/3 wird die Tangente an f(x) gebildet.
A8_4_6
Wendetangente: t(x) = -6,333x + 12,629

A8_4

A8.4.1 Wendepunktkoordinaten und Wendetangentengleichung in Bruchdarstellung
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Die Nullstelle von f''(x) = 6x - 10 liefert die Wendestelle.
Die Wendetangente hat die Form t(x) = Ax +B und kann über die Funktionsgleichung
t(x) = f'(xw)( x - xw ) + f(xw) = f'(xw)x - f'(xw)xw + f(xw) ermittelt werden.
Durch Koeffizientenvergleich erhält man daraus A = f'(xw) und B = f(xw) - f'(xw)xw
Die Nullstelle von f''(x) also xw wird mit SolveN berechnet und in Liste 3 abgespeichert.
A8_4_1_1

Eingabeprozedur:
A8_4_1_2

A8.5 Wertetabelle erstellen für
A8_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Für das Intervall [ -2 ; 5 ] soll eine Wertetabelle mit der Schrittweite 1 erstellt werden.
A8_5_1
Wertetabelle (gerundet auf 2 Stellen):
A8_5_2

A8.6 Graph für
A8_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  A8_6_mc

A9.1 Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades verläuft durch die Punkte:
A9_1_1
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung mit dem GTR.
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Die allgemeine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades lautet:
A9_1_2
Das Gleichungssystem ist mit dem GTR zu lösen.

Eingabeprozedur:
A9_1_3
Das bedeutet: a3 = 1 ; a2 = -1,5 ; a1 = -6 ; a0 = 2

Die Funktionsgleichung lautet:
A9_1_4

A9.2 Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte von
A9_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Funktionsgleichung mit dem Grafikeditor eingeben und anzeigen:
A9_2_1

Um den Graphen optimal anzuzeigen, wird das Betrachtungsfenster auf
x: [ -3 ; 4 ] und y: [ -9 ; 6 ] eingestellt.
A9_2_2

Schnittpunkt mit der y-Achse:
A9_2_3

Nullstelle oder Schnittpunkt mit der x-Achse:
A9_2_4
Py ( 0 | 2 ) und Px1 ( -2 | 0 ) ; Px2 ( 0,31.. | 0 ) ; Px3 ( 3,19.. | 0 )

A9_2

A9.3 Berechnen Sie die Extrempunkte von
A9_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Die Grafik der Funktion ist im Betrachtungsfenster aufgerufen.
Mit S[Sketch] {Cls} kann der Graph neu gezeichnet werden.
A9_3_1
Mit [EXIT] gelangt man zurück in den Grafikeditor.

A9.4 Berechnen Sie den Wendepunkt und die Wendetangente von
A9_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Falls nicht bereits geschehen, Derivative wird auf On gestellt,
damit später die Gleichung der Wendetangente angezeigt werden kann.
A9_4_1
Im Grafikeditor trägt man unterhalb von Y1 f' und f'' wie folgt ein:
A9_4_2

Die Wendestelle liegt dort, wo die zweite Ableitung Null ist.
A9_4_3
Die Wendestelle liegt bei xw = 0,5.

Der zugehörige Wendepunkt hat die Koordinaten:
A9_4_4

Wendetangente:
Wendetangente mit der Farbe Magneta.
An der Stelle xw = 0,5 wird die Tangente an f(x) gebildet.
A9_4_5
Wendetangente: t(x) = -6,75x + 2,125

A9_4

A9.5 Wertetabelle erstellen für
A9_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Für das Intervall [ -3 ; 4 ] soll eine Wertetabelle mit der Schrittweite 1 erstellt werden.
A9_5_1
Wertetabelle (gerundet auf 2 Stellen):
A9_5_2

A9.6 Graph für
A9_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  A9_6_mc

A10.1 Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades verläuft durch die Punkte:
A10_1_1
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung mit dem GTR.
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Die allgemeine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades lautet:
A10_1_2
Das Gleichungssystem ist mit dem GTR zu lösen.

Eingabeprozedur:
A10_1_3
Das bedeutet: a3 = 0,5 ; a2 = -0,5 ; a1 = -4 ; a0 = 4

Die Funktionsgleichung lautet:
A10_1_4

A10.2 Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte von
A10_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Funktionsgleichung mit dem Grafikeditor eingeben und anzeigen:
A10_2_1

Um den Graphen optimal anzuzeigen, wird das Betrachtungsfenster auf
x: [ -4 ; 4 ] und y: [ -3 ; 8 ] eingestellt.
A10_2_2

Schnittpunkt mit der y-Achse:
A10_2_3

Nullstelle oder Schnittpunkt mit der x-Achse:
A10_2_4
Py ( 0 | 4 ) und Px1 ( -2,828.. | 0) ; Px2 ( 1 | 0) ; Px3 ( 2,828.. | 0)

A10_2

A10.2.1 Nullstellenberechnung von
A10_fkt
mit SolveN
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  Falls die bei der Berechnung auftretenden Dezimalzahlen Brüche oder einfache Wurzeln darstellen, können diese auch direkt angezeigt werden.
A10_2_1_1

Eingabeprozedur:
A10_2_1_2

A10.3 Berechnen Sie die Extrempunkte von
A10_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Die Grafik der Funktion ist im Betrachtungsfenster aufgerufen.
Mit S[Sketch] {Cls} kann der Graph neu gezeichnet werden.
A10_3_1
Mit [EXIT] gelangt man zurück in den Grafikeditor.

A10.3.1 Extremwertberechnung von
A10_fkt
im Run Matrix Menü
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Die Nullstellen der 1. Ableitung von f(x) werden mit SolveN berechnet und angezeigt.
Setzt man einen der angezeigten Werte in f(x) ein, so erhält man den dazugehörigen Extremwert.
A10_3_1_1

Eingabeprozedur:
A10_3_1_2

A10.4 Berechnen Sie den Wendepunkt und die Wendetangente von
A10_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Falls nicht bereits geschehen, Derivative wird auf On gestellt,
damit später die Gleichung der Wendetangente angezeigt werden kann.
A10_4_1
Im Grafikeditor trägt man unterhalb von Y1 f' und f'' wie folgt ein:
A10_4_2
Um die Graphen optimal anzuzeigen, wird das Betrachtungsfenster auf
x: [ -4 ; 4 ] und y: [ -5 ; 8 ] eingestellt.
A10_4_3

Die Wendestelle liegt dort, wo die zweite Ableitung Null ist.
A10_4_4
Die Wendestelle liegt vermutlich bei xw = 1/3.

Der zugehörige Wendepunkt hat die Koordinaten:
A10_4_5

Wendetangente:
Wendetangente mit der Farbe Magneta.
An der Stelle xw = 1/3 wird die Tangente an f(x) gebildet.
A10_4_6
Wendetangente: t(x) = -4,166x + 4,0185

A10_4

A10.4.1 Wendepunktkoordinaten und Wendetangentengleichung in Bruchdarstellung
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  Die Nullstelle von f''(x) = 3x - 1 liefert die Wendestelle.
Die Wendetangente hat die Form t(x) = Ax +B und kann über die Funktionsgleichung
t(x) = f'(xw)( x - xw ) + f(xw) = f'(xw)x - f'(xw)xw + f(xw) ermittelt werden.
Durch Koeffizientenvergleich erhält man daraus A = f'(xw) und B = f(xw) - f'(xw)xw
Die Nullstelle von f''(x) also xw wird mit SolveN berechnet und in Liste 3 abgespeichert.
A10_4_1_1

Eingabeprozedur:
A10_4_1_2

A10.5 Wertetabelle erstellen für
A10_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Für das Intervall [ -4 ; 4 ] soll eine Wertetabelle mit der Schrittweite 1 erstellt werden.
A10_5_1
Wertetabelle (gerundet auf 2 Stellen):
A10_5_2

A10.6 Graph für
A10_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  A10_6_mc