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Mathematischer
Hintergrund
Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen III
Lösungen mit dem GTR Casio fx-CG 20   Casio fx-CG 20







Nr. A6.1 A6.2 A6.3 A6.3.1 A6.4 A6.4.1 A6.5 A6.6
A7.1 A7.2 A7.3 A7.3.1 A7.4 A7.4.1 A7.5 A7.6

Erläuterungen
  Die hier dargestellten Rechnungen sind Teilberechnungen, aus bestehenden Aufgaben, auf die an entsprechender Stelle verlinkt wird.
Die Rechnungen wurden mit dem GTR Casio fx-CG20 durchgeführt.

Die Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen besteht im wesentlichen aus folgenden Schritten:
  1. Falls nicht gegeben, die Funktionsgleichung f(x) aufstellen.
  2. Die Achsenschnittpunkte berechnen.
  3. Extremwerte berechnen.
  4. Wendepunkt und Wendetangente bestimmen.
  5. Eine Wertetabelle aufstellen mithilfe der man den Graphen zeichnen kann.
  6. Graphen von f(x) und t(x) in ein geeignetes Koordinatensystem zeichnen.

A6.1 Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades verläuft durch die Punkte:
A6_1_1
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung mit dem GTR.
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Die allgemeine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades lautet:
A6_1_2
Das Gleichungssystem ist mit dem GTR zu lösen.

Eingabeprozedur:
A6_1_3
Das bedeutet: a3 = 1 ; a2 = -1 ; a1 = -5 ; a0 = 6

Die Funktionsgleichung lautet:
A6_1_4

A6.2 Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte von
A6_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Funktionsgleichung mit dem Grafikeditor eingeben und anzeigen:
A6_2_1

Um den Graphen optimal anzuzeigen, wird das Betrachtungsfenster auf
x: [ -3 ; 4 ] und y: [ -2 ; 10 ] eingestellt.
A6_2_2

Schnittpunkt mit der y-Achse:
A6_2_3

Nullstelle oder Schnittpunkt mit der x-Achse:
A6_2_4
Py ( 0 | 6 ) und Px1 ( -2,30.. | 0) ; Px2 ( 1,30.. | 0) ; Px3 ( 2 | 0)

A6_2

A6.3 Berechnen Sie die Extrempunkte von
A6_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Die Grafik der Funktion ist im Betrachtungsfenster aufgerufen.
Mit S[Sketch] {Cls} kann der Graph neu gezeichnet werden.
A6_3_1
Mit [EXIT] gelangt man zurück in den Grafikeditor.

A6.3.1 Extremwertberechnung von
A6_fkt
im Run Matrix Menü
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Die Nullstellen der 1. Ableitung von f(x) werden mit SolveN berechnet und angezeigt.
Setzt man einen der angezeigten Werte in f(x) ein, so erhält man den dazugehörigen Extremwert.
A6_3_1_1

Eingabeprozedur:
A6_3_1_2

A6.4 Berechnen Sie den Wendepunkt und die Wendetangente von
A6_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Falls nicht bereits geschehen, Derivative wird auf On gestellt,
damit später die Gleichung der Wendetangente angezeigt werden kann.
A6_4_1
Im Grafikeditor trägt man unterhalb von Y1 f' und f'' wie folgt ein:
A6_4_2
Um die Graphen optimal anzuzeigen, wird das Betrachtungsfenster auf
x: [ -3 ; 4 ] und y: [ -6 ; 10 ] eingestellt.
A6_4_3

Die Wendestelle liegt dort, wo die zweite Ableitung Null ist.
A6_4_4
Die Wendestelle liegt vermutlich bei xw = 1/3.

Der zugehörige Wendepunkt hat die Koordinaten:
A6_4_5

Wendetangente:
Wendetangente mit der Farbe Magneta.
An der Stelle xw = 1/3 wird die Tangente an f(x) gebildet.
A6_4_6
Wendetangente: t(x) = -5,333x + 5,037

A6_4

A6.4.1 Wendepunktkoordinaten und Wendetangentengleichung in Bruchdarstellung
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Die Nullstelle von f''(x) = 6x - 2 liefert die Wendestelle.
Die Wendetangente hat die Form t(x) = Ax +B und kann über die Funktionsgleichung
t(x) = f'(xw)( x - xw ) + f(xw) = f'(xw)x - f'(xw)xw + f(xw) ermittelt werden.
Durch Koeffizientenvergleich erhält man daraus A = f'(xw) und B = f(xw) - f'(xw)xw
Die Nullstelle von f''(x) also xw wird mit SolveN berechnet und in Liste 3 abgespeichert.
A6_4_1_1
Eingabeprozedur:
A6_4_1_2

A6.5 Wertetabelle erstellen für
A6_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Für das Intervall [ -3 ; 4 ] soll eine Wertetabelle mit der Schrittweite 1 erstellt werden.
A6_5_1
Wertetabelle (gerundet auf 2 Stellen):
A6_5_2

A6.6 Graph für
A6_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  A6_6_mc

A7.1 Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades verläuft durch die Punkte:
A7_1_1
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung mit dem GTR.
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Die allgemeine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades lautet:
A7_1_2
Das Gleichungssystem ist mit dem GTR zu lösen.

Eingabeprozedur:
A7_1_3
Das bedeutet: a3 = 1 ; a2 = -1 ; a1 = -5 ; a0 = 2

Die Funktionsgleichung lautet:
A7_1_4

A7.2 Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte von
A7_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Funktionsgleichung mit dem Grafikeditor eingeben und anzeigen:
A7_2_1

Um den Graphen optimal anzuzeigen, wird das Betrachtungsfenster auf
x: [ -3 ; 4 ] und y: [ -5 ; 6 ] eingestellt.
A7_2_2

Schnittpunkt mit der y-Achse:
A7_2_3

Nullstelle oder Schnittpunkt mit der x-Achse:
A7_2_4
Py ( 0 | 2 ) und Px1 ( -2 | 0 ) ; Px2 ( 0,38.. | 0 ) ; Px3 ( 2,62.. | 0 )

A7_2

A7.3 Berechnen Sie die Extrempunkte von
A7_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Die Grafik der Funktion ist im Betrachtungsfenster aufgerufen.
Mit S[Sketch] {Cls} kann der Graph neu gezeichnet werden.
A7_3_1
Mit [EXIT] gelangt man zurück in den Grafikeditor.

A7.3.1 Extremwertberechnung von
A7_fkt
im Run Matrix Menü
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Die Nullstellen der 1. Ableitung von f(x) werden mit SolveN berechnet und angezeigt.
Setzt man einen der angezeigten Werte in f(x) ein, so erhält man den dazugehörigen Extremwert.
A7_3_1_1

Eingabeprozedur:
A7_3_1_2

A7.4 Berechnen Sie den Wendepunkt und die Wendetangente von
A7_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Falls nicht bereits geschehen, Derivative wird auf On gestellt,
damit später die Gleichung der Wendetangente angezeigt werden kann.
A7_4_1
Im Grafikeditor trägt man unterhalb von Y1 f' und f'' wie folgt ein:
A7_4_2
Um die Graphen optimal anzuzeigen, wird das Betrachtungsfenster auf
x: [ -3 ; 4 ] und y: [ -6 ; 10 ] eingestellt.
A7_4_3

Die Wendestelle liegt dort, wo die zweite Ableitung Null ist.
A7_4_4
Die Wendestelle liegt vermutlich bei xw = 1/3.

Der zugehörige Wendepunkt hat die Koordinaten:
A7_4_5

Wendetangente:
Wendetangente mit der Farbe Magneta.
An der Stelle xw = 1/3 wird die Tangente an f(x) gebildet.
A7_4_6
Wendetangente: t(x) = -5,333x + 2,037

A7_4

A7.4.1 Wendepunktkoordinaten und Wendetangentengleichung in Bruchdarstellung
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Die Nullstelle von f''(x) = 6x - 2 liefert die Wendestelle.
Die Wendetangente hat die Form t(x) = Ax +B und kann über die Funktionsgleichung
t(x) = f'(xw)( x - xw ) + f(xw) = f'(xw)x - f'(xw)xw + f(xw) ermittelt werden.
Durch Koeffizientenvergleich erhält man daraus A = f'(xw) und B = f(xw) - f'(xw)xw
Die Nullstelle von f''(x) also xw wird mit SolveN berechnet und in Liste 3 abgespeichert.
A7_4_4_1
Eingabeprozedur:
A7_4_4_2

A7.5 Wertetabelle erstellen für
A7_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Für das Intervall [ -3 ; 4 ] soll eine Wertetabelle mit der Schrittweite 1 erstellt werden.
A7_5_1
Wertetabelle (gerundet auf 2 Stellen):
A7_5_2

A7.6 Graph für
A7_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  A7_6_mc