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Mathematischer
Hintergrund
Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen II
Lösungen mit dem GTR Casio fx-CG 20   Casio fx-CG 20







Nr. A4.1 A4.2 A4.2.1 A4.3 A4.3.1 A4.4 A4.4.1 A4.5 A4.6
A5.1 A5.2 A5.3 A5.4 A5.5 A5.6

Erläuterungen
  Die hier dargestellten Rechnungen sind Teilberechnungen, aus bestehenden Aufgaben, auf die an entsprechender Stelle verlinkt wird.
Die Rechnungen wurden mit dem GTR Casio fx-CG20 durchgeführt.

Die Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen besteht im wesentlichen aus folgenden Schritten:
  1. Falls nicht gegeben, die Funktionsgleichung f(x) aufstellen.
  2. Die Achsenschnittpunkte berechnen.
  3. Extremwerte berechnen.
  4. Wendepunkt und Wendetangente bestimmen.
  5. Eine Wertetabelle aufstellen mithilfe der man den Graphen zeichnen kann.
  6. Graphen von f(x) und t(x) in ein geeignetes Koordinatensystem zeichnen.

A4.1 Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades verläuft durch die Punkte:
A4_1_1
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung mit dem GTR.
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  Die allgemeine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades lautet:
A4_1_2
Das Gleichungssystem ist mit dem GTR zu lösen.

Eingabeprozedur:
A4_1_3
Das bedeutet: a3 = 0,5 ; a2 = -0,5 ; a1 = -4 ; a0 = 4

Die Funktionsgleichung lautet:
A4_1_4

A4.2 Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte von
A4_fkt
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  Funktionsgleichung mit dem Grafikeditor eingeben und anzeigen:
A4_2_1

Um den Graphen optimal anzuzeigen, wird das Betrachtungsfenster auf
x: [ -4 ; 4 ] und y: [ -3 ; 8 ] eingestellt.
A4_2_2

Schnittpunkt mit der y-Achse:
A4_2_3

Nullstelle oder Schnittpunkt mit der x-Achse:
A4_2_4
Py ( 0 | 4 ) und Px1 ( -2,82.. | 0) ; Px2 ( 1 | 0) ; Px3 ( 2,82.. | 0)

A4.2.1 Nullstellenberechnung von
A4_fkt
mit SolveN
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  Falls die bei der Berechnung auftretenden Dezimalzahlen Brüche oder einfache Wurzeln darstellen, können diese auch direkt angezeigt werden.
A4_2_1_1

Eingabeprozedur:
A4_2_1_2

A4.3 Berechnen Sie die Extrempunkte von
A4_fkt
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  Die Grafik der Funktion ist im Betrachtungsfenster aufgerufen.
Mit S[Sketch] {Cls} kann der Graph neu gezeichnet werden.
A4_3_1
Mit [EXIT] gelangt man zurück in den Grafikeditor.

A4.3.1 Extremwertberechnung von
A4_fkt
im Run Matrix Menü
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  Die Nullstellen der 1. Ableitung von f(x) werden mit SolveN berechnet und angezeigt.
Setzt man einen der angezeigten Werte in f(x) ein, so erhält man den dazugehörigen Extremwert.
A4_3_1_1

Eingabeprozedur:
A4_3_1_2

A4.4 Berechnen Sie den Wendepunkt und die Wendetangente von
A4_fkt
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  Falls nicht bereits geschehen, Derivative wird auf On gestellt,
damit später die Gleichung der Wendetangente angezeigt werden kann.
A4_4_1
Im Grafikeditor trägt man unterhalb von Y1 f' und f'' wie folgt ein:
A4_4_2
Betrachtungsfenster auf y: [ -5 ; 8 ] einstellen.
A4_4_3

Die Wendestelle liegt dort, wo die zweite Ableitung Null ist.
A4_4_4
Die Wendestelle liegt vermutlich bei xw = 1/3.

Der zugehörige Wendepunkt hat die Koordinaten:
A4_4_5

Wendetangente:
Die Darstellung soll mit gleicher Skalierung in x- und y-Richtung erfolgen,
Wendetangente mit der Farbe Magneta.
An der Stelle xw = 1/3 wird die Tangente an f(x) gebildet.
A4_4_6
Wendetangente: t(x) = -4,166x + 4,0185
A4_4

A4.4.1 Wendepunktkoordinaten und Wendetangentengleichung in Bruchdarstellung
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  Die Nullstelle von f''(x) = 3x-1 liefert die Wendestelle.
Die Wendetangente hat die Form t(x) = Ax +B und kann über die Funktionsgleichung
t(x) = f'(xw)( x - xw ) + f(xw) = f'(xw)x - f'(xw)xw + f(xw) ermittelt werden.
Durch Koeffizientenvergleich erhält man daraus A = f'(xw) und B = f(xw) - f'(xw)xw
Die Nullstelle von f''(x) also xw wird mit SolveN berechnet und in Liste 3 abgespeichert.
A4_4_1_1
Eingabeprozedur:
A4_4_1_2

A4.5 Wertetabelle erstellen für
A4_fkt
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  Für das Intervall [ -4 ; 4 ] soll eine Wertetabelle mit der Schrittweite 1 erstellt werden.
A4_5_1
Wertetabelle (gerundet auf 2 Stellen):
A4_5_2

A4.6 Graph für
A4_fkt
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  A4_6_mc

A5.1 Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades verläuft durch die Punkte:
A5_1_1
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung mit dem GTR.
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Die allgemeine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades lautet:
A5_1_2
Das Gleichungssystem ist mit dem GTR zu lösen.

Eingabeprozedur:
A5_1_3
Das bedeutet: a3 = 1 ; a2 = 3 ; a1 = 0 ; a0 = -4

Die Funktionsgleichung lautet:
A5_1_4

A5.2 Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte von
A5_fkt
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  Funktionsgleichung mit dem Grafikeditor eingeben und anzeigen:
A5_2_1

Um den Graphen optimal anzuzeigen, wird das Betrachtungsfenster auf
x: [ -4 ; 2 ] und y: [ -6 ; 5 ] eingestellt.
A5_2_2

Schnittpunkt mit der y-Achse:
A5_2_3

Nullstelle oder Schnittpunkt mit der x-Achse:
A5_2_4
Py ( 0 | -4 ) und Px1/2 ( -2 | 0) ist doppelte Nullstelle, da Berührungspunkt
Px3 ( 1 | 0)

A5_2

A5.3 Berechnen Sie die Extrempunkte von
A5_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Die Grafik der Funktion ist im Betrachtungsfenster aufgerufen.
Mit S[Sketch] {Cls} kann der Graph neu gezeichnet werden.
A5_3_1
Mit [EXIT] gelangt man zurück in den Grafikeditor.

A5.4 Berechnen Sie den Wendepunkt und die Wendetangente von
A5_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Falls nicht bereits geschehen, Derivative wird auf On gestellt,
damit später die Gleichung der Wendetangente angezeigt werden kann.
A4_4_1
Im Grafikeditor trägt man unterhalb von Y1 f' und f'' wie folgt ein:
A4_4_2

Die Wendestelle liegt dort, wo die zweite Ableitung Null ist.
A5_4_3
Die Wendestelle liegt bei xw = -1.

Der zugehörige Wendepunkt hat die Koordinaten:
A5_4_4

Wendetangente:
An der Stelle xw = -1 wird die Tangente an f(x) gebildet.
A5_4_5
Wendetangente: t(x) = -3x - 5
Die Farbe der Wendetangente soll auf Magneta geändert werden:
A5_4_6

A5_4

A5.5 Wertetabelle erstellen für
A5_fkt
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  Für das Intervall [ -4 ; 2 ] soll eine Wertetabelle mit der Schrittweite 1 erstellt werden.
A5_5_1
Wertetabelle (gerundet auf 2 Stellen):
A5_5_2

A5.6 Graph für
A5_fkt
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  A5_5_mc