Startseite Downloadportal Mathe- Physik CD Mathevideos
word pdf
Mathematischer
Hintergrund
Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen I
Lösungen mit dem GTR Casio fx-CG 20   Casio fx-CG 20







Nr. A1.1 A1.2 A1.3 A1.4 A1.5 A1.6 A2.1 A2.2 A2.3 A2.4
A2.5 A2.6 A3.1 A3.2 A3.3 A3.4 A3.5 A3.6

Erläuterungen
  Die hier dargestellten Rechnungen sind Teilberechnungen, aus bestehenden Aufgaben, auf die an entsprechender Stelle verlinkt wird.
Die Rechnungen wurden mit dem GTR Casio fx-CG20 durchgeführt.

Die Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen besteht im wesentlichen aus folgenden Schritten:
  1. Falls nicht gegeben, die Funktionsgleichung f(x) aufstellen.
  2. Die Achsenschnittpunkte berechnen.
  3. Extremwerte berechnen.
  4. Wendepunkt und Wendetangente bestimmen.
  5. Eine Wertetabelle aufstellen mithilfe der man den Graphen zeichnen kann.
  6. Graphen von f(x) und t(x) in ein geeignetes Koordinatensystem zeichnen.

A1.1 Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades verläuft durch die Punkte:
A1_1_1
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung mit dem GTR.
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Die allgemeine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades lautet:
A1_1_2
Das Gleichungssystem ist mit dem GTR zu lösen.

Eingabeprozedur:
A1_1_3
Das bedeutet: a3 = 1 ; a2 = -6 ; a1 = 9 ; a0 = 0

Die Funktionsgleichung lautet:
A1_1_4

A1.2 Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte von
A1_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Funktionsgleichung mit dem Grafikeditor eingeben und anzeigen:
A1_2_1

Um den Graphen optimal anzuzeigen, wird das Betrachtungsfenster auf
y: [ -2 ; 5 ] mit gleicher Skalierung für beide Achsen eingestellt.
A1_2_2

Schnittpunkt mit der y-Achse:
A1_2_3

Nullstelle oder Schnittpunkt mit der x-Achse:
A1_2_4
Py ( 0 | 0 ) und Px1 ( 0 | 0) ; Px2/3 ( 3 | 0) ist doppelte Nullstelle, da Berührungspunkt.
A1_2

A1.3 Berechnen Sie die Extrempunkte von
A1_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Die Grafik der Funktion ist im Betrachtungsfenster aufgerufen.
Mit S[Sketch] {Cls} kann der Graph neu gezeichnet werden.
A1_3_1
Mit [EXIT] gelangt man zurück in den Grafikeditor.

A1.4 Berechnen Sie den Wendepunkt und die Wendetangente von
A1_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Falls nicht bereits geschehen, Derivative wird auf On gestellt,
damit später die Gleichung der Wendetangente angezeigt werden kann.
A1_4_1
Im Grafikeditor trägt man unterhalb von Y1 f' und f'' wie folgt ein:
A1_4_2
Betrachtungsfenster auf y: [ -4 ; 5 ] mit gleicher Skalierung einstellen.
A1_4_3

Die Wendestelle liegt dort, wo die zweite Ableitung Null ist.
A1_4_4
Die Wendestelle liegt bei xw = 2.

Der zugehörige Wendepunkt hat die Koordinaten:
A1_4_5

Wendetangente:
An der Stelle xw = 2 wird die Tangente an f(x) gebildet.
A1_4_6
Wendetangente: t(x) = -3x + 8
Die Farbe der Wendetangente soll auf schwarz geändert werden:
A1_4_7

A1_4

A1.5 Wertetabelle erstellen für
A1_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Für das Intervall [ -1 ; 4 ] soll eine Wertetabelle mit der Schrittweite 0,5 erstellt werden.
A1_5_1
Wertetabelle (gerundet auf 2 Stellen):
A1_5_2

A1.6 Graph für
A1_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  A1_6_mc

A2.1 Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades verläuft durch die Punkte:
A2_1_1
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung mit dem GTR.
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Die allgemeine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades lautet:
A2_1_2
Das Gleichungssystem ist mit dem GTR zu lösen.

Eingabeprozedur:
A2_1_3
Das bedeutet: a3 = 1 ; a2 = 1,5 ; a1 = -6 ; a0 = -2

Die Funktionsgleichung lautet:
A2_1_4

A2.2 Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte von
A2_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Funktionsgleichung mit dem Grafikeditor eingeben und anzeigen:
A2_2_1

Um den Bereich der Achsenschnittpunkte optimal anzuzeigen, wird das Betrachtungsfenster auf
x: [ -4 ; 3 ] eingestellt.
A2_2_2

Schnittpunkt mit der y-Achse:
A2_2_3

Nullstelle oder Schnittpunkt mit der x-Achse:
A2_2_4
Py ( 0 | -2 ) und Px1 ( -3,186.. | 0) ; Px2 ( -0,313.. | 0) ; Px3 ( 2 | 0)

A2.3 Berechnen Sie die Extrempunkte von
A2_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Die Grafik der Funktion ist im Betrachtungsfenster aufgerufen.
Betrachtungsfenster zur besseren Darstellung: x: [ -4 ; 3 ] und y: [ -8 ; 9 ]
A2_3_1
Mit S[Sketch] {Cls} kann der Graph neu gezeichnet werden.
A2_3_2
Mit [EXIT] gelangt man zurück in den Grafikeditor.

A2.4 Berechnen Sie den Wendepunkt und die Wendetangente von
A2_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Falls nicht bereits geschehen, Derivative wird auf On gestellt,
damit später die Gleichung der Wendetangente angezeigt werden kann.
A1_4_1
Im Grafikeditor trägt man unterhalb von Y1 f' und f'' wie folgt ein:
A1_4_2

Die Wendestelle liegt dort, wo die zweite Ableitung Null ist.
A2_4_1
Die Wendestelle liegt bei xw = -0,5.

Der zugehörige Wendepunkt hat die Koordinaten:
A2_4_2

Wendetangente:
Die Darstellung soll mit gleicher Skalierung in x- und y-Richtung erfolgen,
Wendetangente mit der Farbe Magneta.
An der Stelle xw = -0,5 wird die Tangente an f(x) gebildet.
A2_4_3
Wendetangente: t(x) = -6,75x - 2,125
A2_4

A2.5 Wertetabelle erstellen für
A2_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Für das Intervall [ -4 ; 3 ] soll eine Wertetabelle mit der Schrittweite 0,5 erstellt werden.
A2_5_1
Wertetabelle (gerundet auf 2 Stellen):
A2_5_2

A2.6 Graph für
A2_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  A2_6_mc

A3.1 Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades verläuft durch die Punkte:
A3_1_1
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung mit dem GTR.
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Die allgemeine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades lautet:
A3_1_2
Das Gleichungssystem ist mit dem GTR zu lösen.

Eingabeprozedur:
A3_1_3
Das bedeutet: a3 = 1 ; a2 = -9 ; a1 = 15 ; a0 = 9

Die Funktionsgleichung lautet:
A3_1_4

A3.2 Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte von
A3_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Funktionsgleichung mit dem Grafikeditor eingeben und anzeigen:
A3_2_1

Um den Bereich der Achsenschnittpunkte optimal anzuzeigen, wird das Betrachtungsfenster auf
x: [ -1 ; 8 ] und y: [ -3 ; 10 ] eingestellt.
A3_2_2

Schnittpunkt mit der y-Achse:
A3_2_3

Nullstelle oder Schnittpunkt mit der x-Achse:
A3_2_4
Py ( 0 | 9 ) und Px1 ( -0,464.. | 0) ; Px2 ( 3 | 0) ; Px3 ( 6,464.. | 0)

A3.3 Berechnen Sie die Extrempunkte von
A3_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Die Grafik der Funktion ist im Betrachtungsfenster aufgerufen.
Betrachtungsfenster zur besseren Darstellung: x: [ -1 ; 7 ] und y: [ -18 ; 18 ]
A3_3_1
Mit S[Sketch] {Cls} kann der Graph neu gezeichnet werden.
A3_3_2
Mit [EXIT] gelangt man zurück in den Grafikeditor.

A3.4 Berechnen Sie den Wendepunkt und die Wendetangente von
A3_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Falls nicht bereits geschehen, Derivative wird auf On gestellt,
damit später die Gleichung der Wendetangente angezeigt werden kann.
A1_4_1
Im Grafikeditor trägt man unterhalb von Y1 f' und f'' wie folgt ein:
A1_4_2

Die Wendestelle liegt dort, wo die zweite Ableitung Null ist.
A3_4_1
Die Wendestelle liegt bei xw = 3.

Der zugehörige Wendepunkt hat die Koordinaten:
A3_4_2

Wendetangente:
Die Wendetangente soll in der Farbe Magneta dargestelt werden.
An der Stelle xw = 3 wird die Tangente an f(x) gebildet.
A3_4_3
Wendetangente: t(x) = -12x + 36
A3_4
Die Graphen erscheinen verzerrt, da sie in y-Richtung stark gestaucht sind.

A3.5 Wertetabelle erstellen für
A3_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  Für das Intervall [ -1 ; 7 ] soll eine Wertetabelle mit der Schrittweite 1 erstellt werden.
A3_5_1
Wertetabelle (gerundet auf 2 Stellen):
A3_5_2

A3.6 Graph für
A3_fkt
  Ausführliche Lösung        GTR-Übersicht        Zum Originaldokument
  A3_6_mc