Startseite Downloadportal Mathe- Physik CD Mathevideos
Lösungen zm_054 word pdf
Mathematischer
Hintergrund
Hypothesentest II
Ausführliche Lösungen




<<< voriges Aufgabenblatt Aufgabenblatt Kapitelüberblick >>>

Nr. 01 02 03

1. Die Firma "Schlemmerland" behauptet, dass ihre Konkurrenzfirma "Billigfood" die Gewichtsangabe, die auf deren Kaviarverpackungen steht häufiger als 5% unterschreitet und damit die Kunden betrügt. Erlaubt ist, dass maximal 5% der Packungen Untergewicht haben. "Billigfood" dementiert:
"Weniger als 5% der Verpackungen haben Untergewicht".
Eine unabhängige Kommission untersucht 300 Packungen.
Stellen Sie aufgrund der unterschiedlichen Interessenlagen beider Firmen jeweils einen Hypothesentest mit einem Signifikanzniveau von höchstens 5% auf. Kommentieren Sie die Ergebnisse.
  Ausführliche Lösung
  Aufgabenanalyse und aufstellen der Hypothesen.
Aus Sicht jeder Firma ist ein Hypothesentest aufzustellen. Aufgrund der unterschiedlichen Interessen unterscheiden sich die aufzustellenden Hypothesen. Damit unterscheiden sich auch jeweils der Annahme- und Ablehnungsbereich.

"Schlemmerland" möchte zeigen, dass p > 0,05 gilt und stellt folgende Hypothesen auf:
Nullhypothese H0: p ≤ 0,05; Alternativhypothese H1: p > 0,05.
Das ist ein rechtsseitiger Hypothesentest.

"Billigfood" möchte zeigen, dass p < 0,05 gilt und stellt folgende Hypothesen auf:
Nullhypothese H0: p ≥ 0,05; Alternativhypothese H1: p < 0,05.
Das ist ein linksseitiger Hypothesentest.
  Test für "Schlemmerland".
01_1_l
Lösungen mit dem Casio fx-CG 20
  Test für "Billigfood".
01_2_l
Lösungen mit dem Casio fx-CG 20
  Auswertung: Eine Gegenüberstellung zeigt:
"Schlemmerland"
01_3_e
Rechtsseitiger Test
Fehler 1. Art: 4,3%
Falls bei der Kontrolle mehr als 21 Packungen Untergewicht haben, wird H0 abgelehnt.
"Schlemmerland" geht dann mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 4,3% davon aus mehr als 5% aller Packungen seien untergewichtig. Der Betrugsverdacht würde sich erhärten. Falls das Kontrollergebnis in den Annahmebereich von H0 fällt, muss H0 zwar angenommen werden, ist aber damit nicht bewiesen.
"Billigfood"
01_4_e
Linksseitiger Test
Fehler 1. Art: 4,3%
Falls bei der Kontrolle weniger als 9 Packungen Untergewicht haben, wird H0 abgelehnt.
"Billigfood" geht dann mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 4,3% davon aus, weniger als 5% untergewichtige Packungen zu haben. Falls das Kontrollergebnis in den Annahmebereich von H0 fällt, muss H0 zwar angenommen werden, ist aber damit nicht bewiesen.
  Vergleich eines rechtsseitigen mit einem linksseitigen Hypothesentest
01_des_l
  Bemerkung zur errechneten Irrtumswahrscheinlichkeit.
Die Berechnung der Intervallwahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Ablehnungsbereiche erfolgte mit den Tabellenwerten der Normalverteilung. Die Werte der Normalverteilung sind symmetrisch zum Erwartungswert. Gleiche Umgebungsradien bedeuten gleiche Flächen bzw. %- Werte. Die in der Grafik dargestellten Säulen repräsentieren die Binomialverteilung. Diese ist nur bei p = 0,5 symmetrisch zum Erwartungswert. Eine genaue Rechnung mit den Werten der Binomialverteilung würde beim rechtsseitigen Test einen Fehler von 4,9% und beim linksseitigen Test von 3,4% zeigen. Dieser Unterschied liegt an der extremen Schiefheit der Binomialverteilung bei p = 0,05.

2. Bei der letzten Notenkonferenz einer gymnasialen Oberstufe hatten 15% der Schüler in einigen Fächern Defizite. Im laufenden Schuljahr werden Stützkurse für die kritischen Fächer angeboten. Bei der nächsten Notenkonferenz haben 18 von 140 Schülern Defizite.
  a) Kann man mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 5% annehmen,dass das Engagement der Lehrkräfte Erfolg hatte?
  b) Die Nullhypothese wird aufgrund des Tests abgelehnt.
Wie groß ist der Fehler 1. Art?
  Ausführliche Lösungen Lösungen mit dem Casio fx-CG 20
  a) Aufgabenanalyse und aufstellen der Hypothesen.
Hatte das Engagement der Lehrkräfte Erfolg? Falls ja, dann sollten weniger als 15% aller Schüler Defizite aufweisen. Die Untersuchung soll zeigen, dass p < 0,15 gilt.
Damit werden folgende Hypothesen aufgestellt:
Nullhypothese H0: p ≥ 0,15; Alternativhypothese H1: p < 0,15.
Die Nullhypothese ist nur dann abzulehnen, wenn bei wenigen Schülern Defizite auftreten. Man sagt auch kleine Werte von X sprechen gegen H0. Das ist ein linksseitiger Hypothesentest.
  02a_l
Lösungen mit dem Casio fx-CG 20
  Auswertung:
Der Annahmebereich von H0 beinhaltet 14 bis 140 Schüler mit Defiziten.
Der Ablehnungsbereich von H0 beinhaltet 0 bis 13 Schüler mit Defiziten.
Da aber 18 Schüler erneut Defizite aufweisen, fällt das in den Annahmebereich von H0.
Die Nullhypothese muss beibehalten werden, obwohl weniger Schüler, als zu erwarten wäre, Defizite haben. Man kann von keiner positiven Änderung ausgehen. Erst wenn weniger als 14 Schüler Defizite aufweisen, kann man davon ausgehen, dass das Engagement der Lehrer erfolg hatte. Dabei wäre die Irrtumswahrscheinlichkeit etwa 3,8%.
  02a_des_l
  b) Aufgabenanalyse und aufstellen der Hypothesen.
Aufgrund der Tatsache dass 18 Schüler, also weniger als 21, wie bei p = 0,15 zu erwarten wären, Defizite aufweisen, soll die Nullhypothese abgelehnt werden. Dadurch, dass man nun 19 als untere Grenze des Annahmebereichs wählt, ändert sich der Fehler 1. Art. Annahme- und Ablehnungsbereich ändern sich wie folgt.
Annahmebereich: { 19 ... 140 } Ablehnungsbereich: { 0 ... 18 }
Die Irrtumswahrscheinlichkeit wird durch den Ablehnungsbereich bestimmt.
{ 0 ... 18 } {19 ... 21 ...23 } { 24 ... 140 }
  02b_l
Lösungen mit dem Casio fx-CG 20
  Auswertung:
Der Annahmebereich von H0 beinhaltet 19 bis 140 Schüler mit Defiziten.
Der Ablehnungsbereich von H0 beinhaltet 0 bis 18 Schüler mit Defiziten.

Wird die Nullhypothese schon bei 18 Schülern mit Defiziten abgelehnt, so ist für diese Entscheidung die Irrtumswahrscheinlichkeit etwa 27,8%. Die Aussage, dass das Engagement der Lehrer erfolg hatte, ist also mit einem Fehler von 27,8% behaftet.
  02b_des_l

3. Eine Untersuchung ergab, dass Placebos bei vielen Patienten die gleiche Wirkung erzielen wie gleich aussehende echte Tabletten. Die Erfahrung einer Klinik besagt, dass höchstens 60% der Patienten, die Kopfschmerztabletten einnehmen, auf Placebos ansprechen.
Für Berechnungen unter a), b) und c) sind die im Aufgabenblatt beigefügten Tabellen (Tabelle 1 und Tabelle 2) zu verwenden.
  a) Ein Klinikarzt behauptet, dass die Wirkung der Placebos verstärkt werden kann, wenn sie einen bitteren Beigeschmack haben. Er verabreicht 100 Patienten die neuen Placebos und stellt fest, dass 75 von ihnen darauf ansprechen.
03a
Rechnen Sie mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 4%.
  b) Wie groß ist der Fehler 2. Art, wenn für die bitteren Pillen p = 0,7 gilt?
Wie kann der Fehler 2. Art verringert werden?
Welche Konsequenzen hätte das für den Fehler 1. Art?
  c) Reduzieren sie den Fehler 2. Art mindestens auf den halben Wert.
Wie ändern sich dadurch der Annahme- und Ablehnungsbereich von H0?
Welche Irrtumswahrscheinlichkeit liegt dann vor?
  d) Skizzieren Sie die Verteilungen aus b) und c) und kennzeichnen Sie die Fehler 1. und 2. Art.
  Ausführliche Lösungen
  a) Aufgabenanalyse und aufstellen der Hypothesen.
Benutzen Sie für die Rechnung die beigefügten Tabellen der Binomialverteilung für
n = 100 und p = 0,6, sowie für n = 100 und p = 0,7.

Aufstellen der Hypothesen:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Placebos wirken, sei höchstens 60%. Vermutet wird, dass Placebos mit einem bitterem Beigeschmack wirksamer sind. Die Untersuchung soll zeigen, dass p > 0,6 gilt.

Damit werden folgende Hypothesen aufgestellt:
Nullhypothese H0: p ≤ 0,6; Alternativhypothese H1: p > 0,6.
Die Nullhypothese ist nur dann abzulehnen, wenn bei vielen Patienten die Placebos wirken. Man sagt auch große Werte von X sprechen gegen H0. Das ist ein rechtsseitiger Hypothesentest. Der Ablehnungsbereich liegt rechts vom Erwartungswert für p = 0,6 und hat eine Größe von höchstens 4%.
  03a_l
Die Hypothese H0 wird abgelehnt, da X = 75 im Ablehnungsbereich von H0 liegt. Die Irrtumswahrscheinlichkeit dieser Entscheidung (Fehler 1. Art) liegt bei etwa 4%.
Lösungen mit dem Casio fx-CG 20
  b) Falls p = 0,7 tatsächlich richtig ist, kann es dennoch vorkommen, dass das Versuchsergebnis in den Annahmebereich von H0 fällt.
Die Wahrscheinlichkeit, mit der das geschieht, ist der Fehler 2. Art.
03b_l
Falls für bittere Pillen p = 0,7 gilt, ist der Fehler 2. Art 36,7%.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, das die Richtigkeit von p = 0,7 nicht erkannt wird, beträgt etwa 36,7%.
Soll der Fehler 2. Art verringert werden, dann ist der Annahmebereich von H0 zu verringern. Das hat aber zur Folge, dass dadurch der Fehler 1. Art sich vergrößert.
Lösungen mit dem Casio fx-CG 20
  c) 03c_l
Dadurch, dass der Fehler 2. Art etwa halbiert wird, vergrößert sich der Fehler 1. Art auf etwa das Dreifache.
Lösungen mit dem Casio fx-CG 20
  d) Verteilungen aus Aufgabenteil b)
03d1_des_l
Ein kleiner Fehler 1. Art führt zu einem großen Fehler 2. Art. Soll der Fehler 2. Art verringert werden, kann das nur durch eine Vergrößerung des Fehlers 1. Art erreicht werden.
  Verteilungen aus Aufgabenteil c)
03d2_des_l
Dadurch, dass der Fehler 2. Art auf etwa die Hälfte reduziert wurde, hat sich der Fehler 1. Art mehr als verdreifacht.