Startseite Downloadportal Mathe- Physik CD Mathevideos
Lösungen zm_051 word pdf
Mathematischer
Hintergrund
Hypothesentest I
Ausführliche Lösungen




<<< voriges Aufgabenblatt Aufgabenblatt nächstes Aufgabenblatt >>>

Nr. 01 02 03 04

1. Eine Fernsehserie hatte im letzten Jahr eine mittlere Einschaltquote von 10%. Das Management des Senders vermutet, dass die Beliebtheit der Serie im letzten Quartal des Vorjahres sogar etwas zugenommen hat. Weitere Serien sollen dazugekauft werden, wenn die Beliebtheit der Sendung tatsächlich zugenommen hat. Dazu sollen 200 Personen mittels einer Telefonaktion befragt werden. Man ist sich auch der Zufälligkeit von Stichprobenergebnissen bewusst und gibt sich mit einer Sicherheit von mindestens 95% des Befragungsergebnisses zufrieden.
Bestimmen Sie den Annahme- und Ablehnungsbereich, sowie den tatsächlichen Fehler 1. Art. Skizzieren sie grob die Verteilungsfunktion und kennzeichnen Sie die markanten Punkte.
  Ausführliche Lösung Lösungen mit dem Casio fx-CG 20
  Aufgabenanalyse und aufstellen der Hypothesen.
Man möchte überprüfen, ob die Beliebtheit der Sendung zugenommen hat, ob also die Vermutung p > 0,1 zutrifft. Bei der Aufstellung der Hypothesen geht man so vor:
Das was gezeigt werden soll, bildet die Alternativhypothese, das Gegenteil davon die Nullhypothese.
Nullhypothese H0: p ≤ 0,1; Alternativhypothese H1: p > 0,1.
Bei Ablehnung der Nullhypothese wird die Alternativhypothese angenommen.
H0 soll durch die Umfrage getestet werden.
Eine Sicherheit von 95% bedeutet, mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% ist die Ablehnung der Nullhypothese eine Fehlentscheidung. Signifikanzniveau 5%.
Auf dieser Grundlage wird für H0 ein Annahmebereich und ein Ablehnungsbereich festgelegt. Da große Werte gegen H0 sprechen, handelt es sich um einen rechtsseitigen Test.
  01_l
Lösungen mit dem Casio fx-CG 20
  Auswertung:
Würde bei der Umfrage herauskommen, dass mehr als 27 Personen die Sendung sehen möchten, dann fiele das in den Ablehnungsbereich von H0. Die Nullhypothese wäre abzulehnen. Die Alternativhypothese H1: p > 0,1 würde angenommen werden. Es würden neue Serien gekauft.
Der Fehler, der bei dieser Entscheidung gemacht würde beträgt 3,85%. Das bedeutet, mit einer Wahrscheinlichkeit von 3,85% würde die Hypothese H0 zu unrecht abgelehnt werden. Die Fehlerwahrscheinlichkeit (3,85%) heißt Irrtumswahrscheinlichkeit. Statt Irrtumswahrscheinlichkeit sagt man auch Signifikanzniveau.

Käme bei der Umfrage heraus, dass höchstens 27 Personen die Sendung sehen möchten, dann würde die Hypothese H0 angenommen und alles bliebe beim alten. Es würden keine neuen Serien dazugekauft.

Da der Ablehnungsbereich der H0 Hypothese im rechten Bereich der Wahrscheinlichkeitsverteilung liegt, nennt man diesen Hypothesentest auch rechtsseitigen Test.
  01_des_l

2. In einer Kleinstadt gibt es 2 Grundschulen. Der Schulleiter der Bismarckschule bestreitet, das im kommenden Schuljahr wieder nur 37% aller Einschulungen an seine Schule kommen. Man habe die Schule schließlich durch viele Zusatzangebote attraktiver gemacht. Eine Meinungsumfrage mit 200 Eltern soll zeigen, dass die Beliebtheit der Schule gestiegen ist.
Bestimmen Sie den Annahme- und Ablehnungsbereich, sowie den tatsächlichen Fehler 1. Art. Skizzieren sie grob die Verteilungsfunktion und kennzeichnen Sie die markanten Stellen. Das Signifikanzniveau sei höchstens 5%.
  Ausführliche Lösung Lösungen mit dem Casio fx-CG 20
  Aufgabenanalyse und aufstellen der Hypothesen.
Man möchte überprüfen, ob die Beliebtheit der Schule zugenommen hat, ob also die Vermutung p > 0,37 zutrifft.
Bei der Aufstellung der Hypothesen geht man so vor:
Das was gezeigt werden soll, bildet die Alternativhypothese, das Gegenteil davon die Nullhypothese.
Nullhypothese H0: p ≤ 0,37; Alternativhypothese H1: p > 0,37.
Bei Ablehnung der Nullhypothese wird die Alternativhypothese angenommen.
H0 soll durch die Umfrage getestet werden.
Das Signifikanzniveau soll höchstens 5% betragen.
Auf dieser Grundlage wird für H0 ein Annahmebereich und ein Ablehnungsbereich festgelegt. Da große Werte gegen H0 sprechen, handelt es sich um einen rechtsseitigen Test.
  02_l
Lösungen mit dem Casio fx-CG 20
  Auswertung:
Der Annahmebereich von H0 beinhaltet 0 bis 85 positive Elternmeinungen.
Der Ablehnungsbereich von H0 beinhaltet 86 bis 200 positive Elternmeinungen.

Würde bei der Umfrage herauskommen, dass mehr als 85 positive Elternentscheidungen vorliegen, dann fiele das in den Ablehnungsbereich von H0. Die Nullhypothese wäre abzulehnen. Die Alternativhypothese H1: p > 0,37 würde angenommen werden. Die Schule scheint attraktiver geworden zu sein. Der Fehler, der bei dieser Entscheidung gemacht würde beträgt 4,65%. Das bedeutet, mit einer Wahrscheinlichkeit von 4,65% würde die Hypothese H0 zu unrecht abgelehnt werden.

Käme bei der Umfrage heraus, dass höchstens 85 positive Elternmeinungen vorlägen, dann würde die Hypothese H0 angenommen. In diesem Fall könnte man nicht behaupten, die Schule sei attraktiver geworden.
  02_des_l

3. Im vergangenen Jahr wechselten 75% aller Grundschüler eines Schulbezirkes nach der 4. Klasse zur Realschule. Das Schulamt vermutet, dass der Anteil der Schüler, die zur Realschule wechseln auch in diesem Jahr unverändert bleibt. Diese Annahme soll durch eine Befragung von 120 Eltern überprüft werden.
  a) 03a
Skizzieren sie grob die Verteilungsfunktion und kennzeichnen Sie die markanten Stellen.
  b) Beschreiben und berechnen Sie den Fehler 2. Art, wenn dem Zufallsversuch tatsächlich eine Erfolgswahrscheinlichkeit von p = 0,7 zugrunde liegt. Skizzieren sie grob die Verteilungsfunktion und kennzeichnen Sie die markanten Stellen.
  Ausführliche Lösungen
Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 für a)        Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 für b)
  a) Aufgabenanalyse und aufstellen der Hypothesen.
Es soll überprüft werden, ob der Anteil der Grundschüler, der zur Realschule wechselt, wie im vergangenen Jahr 75% beträgt. Da weder eine eindeutige Abweichung nach oben oder nach unten vermutet wird, handelt es sich um einen zweiseitigen Hypothesentest.
Die Hypothesen lauten:
Nullhypothese: H0: p = 0,75; Alternativhypothese H1: p ≠ 0,75.
Der Ablehnungsbereich, bestimmt durch das Signifikanzniveau von 5%, verteilt sich gleichmäßig auf beide Seiten.
  03a_l
Lösungen mit dem Casio fx-CG 20
  Auswertung:
Der Annahmebereich von H0 beinhaltet 81 bis 99 Entscheidungen für die Realschule.
Der Ablehnungsbereich von H0 beinhaltet 0 bis 80, bzw. 100 bis 120 Entscheidungen für die Realschule.

Falls p = 0,75 richtig ist, aber das Stichprobenergebnis zufällig in den Ablehnungsbereich fällt, lehnt man fälschlicherweise H0 ab. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art ist gleich der Wahrscheinlichkeit für den Ablehnungsbereich.
1 - 0,954 = 0,046 (4,6%).
  03a_des_l
  b) Aufgabenanalyse.
Falls H0 nicht gilt, sondern p = 0,7 richtig ist, d.h. die Hypothese p = 0,75 ist falsch, aber das Stichprobenergebnis fällt zufällig im Annahmebereich von H0 , nimmt man H0 fälschlicherweise an. Die Wahrscheinlichkeit dafür, diesen Fehler zu machen ist der Fehler 2. Art.
Man berechnet diesen Fehler, indem man unter der Annahme, dass p = 0,7 richtig ist, die Wahrscheinlichkeit des Annahmebereichs von H0 bestimmt.
  03b_l
Lösungen mit dem Casio fx-CG 20
  Auswertung:
Falls H0 falsch und p = 0,7 richtig ist, fällt das Ergebnis dennoch zu 75,8% in den Annahmebereich von H0.
Die Nullhypothese würde fälschlicherweise angenommen werden. Dieser Fehler heißt Fehler 2. Art. Er beträgt 75,8% und ist im Vergleich zum Fehler 1. Art mit 4,6% sehr groß.
  03b_des_l

4. Der Hersteller eines Glücksspielautomaten behauptet, das die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Gewinnkombination p = 0,3 beträgt. In 170 Spielrunden soll diese Angabe überprüft werden.
  a) 04a
Skizzieren Sie grob die Verteilungsfunktion und markieren Sie die markanten Werte.
Bemerkung: Der Annahmebereich soll symmetrisch zum Erwartungswert liegen.
  b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art, falls die tatsächliche Wahrscheinlichkeit dieser Gewinnkombination nur p = 0,2 beträgt. Skizzieren Sie grob die Verteilungsfunktion und markieren Sie die markanten Werte.
  Ausführliche Lösungen
Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 für a)        Lösungen mit dem Casio fx-CG 20 für b)
  a) Aufgabenanalyse und aufstellen der Hypothesen.
Es soll überprüft werden, ob eine bestimmte Gewinnkombination mit der Wahrscheinlichkeit von p = 0,3 auftritt. Da weder eine eindeutige Abweichung nach oben oder nach unten vermutet wird, handelt es sich um einen zweiseitigen Hypothesentest.
Die Hypothesen lauten:
Nullhypothese: H0: p = 0,3; Alternativhypothese H1: p ≠ 0,3.
Der Ablehnungsbereich, bestimmt durch das Signifikanzniveau von 10%, verteilt sich gleichmäßig auf beide Seiten.
  04a_l
Lösungen mit dem Casio fx-CG 20
  Auswertung:
Falls p = 0,3 richtig ist, aber das Stichprobenergebnis zufällig in den Ablehnungsbereich fällt, geht man fälschlicherweise davon aus, dass H0 abgelehnt werden muss. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art ist gleich der Wahrscheinlichkeit für den Ablehnungsbereich,
also 1 - 0,922 = 0,078 (7,8%).
  04a_des_l
  b) Aufgabenanalyse.
Falls H0 nicht gilt, sondern p = 0,2 richtig ist, d.h. die Hypothese p = 0,3 ist falsch, aber das Stichprobenergebnis fällt zufällig im Annahmebereich von H0 , nimmt man H0 fälschlicherweise an. Die Wahrscheinlichkeit dafür, diesen Fehler zu machen ist der Fehler 2. Art. Man berechnet diesen Fehler, indem man unter der Annahme, dass p = 0,2 richtig ist, die Wahrscheinlichkeit des Annahmebereichs von H0 bestimmt.
  04b_l
Lösungen mit dem Casio fx-CG 20
  Auswertung:
Falls H0 falsch und p = 0,2 richtig ist, fällt das Ergebnis dennoch zu 10,6% in den Annahmebereich von H0. Die Nullhypothese würde fälschlicherweise angenommen werden. Dieser Fehler heißt Fehler 2. Art. Er beträgt 10,6% und ist im Vergleich zum Fehler 1. Art mit 7,8% geringfügig größer.
  04b_des_l