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Mathematischer
Hintergrund
Vermischte Aufgaben zur Differential- und Integralrechnung III
Ergebnisse und ausführliche Lösungen





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Nr. 01 02 03

1. Ergebnisse:
  a) 01a_e
  b) Restfläche: Fläche unter der Parabel minus Fensterfläche.
01b_e
  Ausführliche Lösungen

2. Ergebnisse:
  a) Die Wachstumsfunktion lautet:
02a_e
  b) Jeweils alle 11,106 Stunden verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien.
  c) Im Mittel gibt es in den ersten 80 Stunden 146570 Bakterien.
  d) Die Funktion m(x) = m bildet den Mittelwert der Wachstumsfunktion N(x). Der Teil der Fläche (Fläche I), der unterhalb von m(x) liegt, muss genauso groß sein wie der Teil der Fläche (Fläche II), der oberhalb von m(x) liegt. Das folgt aus dem Mittelwert. Da nun N(x) im Bereich von Fläche I unterhalb von m(x) liegt, ist dort der Wert des Integrals negativ. Da N(x) im Bereich von Fläche II oberhalb von m(x) liegt, ist dort der Wert des Integrals positiv. Bei Flächengleichheit muss demzufolge der Wert des Integrals über den gesamten Bereich, der gemittelt wurde, gleich Null sein.
  Ausführliche Lösungen

3. Ergebnis:
  03_e
  Ausführliche Lösung

1. Ausführliche Lösungen:
  Mathematisierung des Problems
Allgemein:
01_1_des_l
Speziell für B = 4 m, H = 4 m
01_2_des_l
  a) 01a_l
  b) 01b_l
01b_mc_l

2. Ausführliche Lösungen:
  a) 02a_l
  b) 02b_l
  c) 02c_l
  d) 02d_l
Die Funktion m(x) = m bildet den Mittelwert der Wachstumsfunktion N(x). Der Teil der Fläche (Fläche I), der unterhalb von m(x) liegt, muss genauso groß sein wie der Teil der Fläche (Fläche II), der oberhalb von m(x) liegt. Das folgt aus dem Mittelwert. Da nun N(x) im Bereich von Fläche I unterhalb von m(x) liegt, ist dort der Wert des Integrals negativ. Da N(x) im Bereich von Fläche II oberhalb von m(x) liegt, ist dort der Wert des Integrals positiv. Bei Flächengleichheit muss demzufolge der Wert des Integrals über den gesamten Bereich, der gemittelt wurde, gleich Null sein. Obige Rechnung zeigt, das dies der Fall ist.

3. Ausführliche Lösung:
  03_1_l
  03_2_l
  03_3_l
  03_4_l
  03_mc_l