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Mathematischer
Hintergrund
Anwendungsaufgaben zur Differential- und Integralrechnung I
Ausführliche Lösungen
zm_137




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Nr. 01 02 03

1. Ergebnisse:
  a) 01a_e
  b) Das Rechteck maximaler Größe hat eine Fläche von etwa 23,095 m2.
  c) Für den Mund wird an der Hauswand eine Fläche von insgesamt 36,267 m2 benötigt.
  d) Die schraffierte Fläche ist die Differenz aus der gesamten Fläche und der des Rechtecks. Sie beträgt etwa 13,172 m2. Die Kosten für die Beschichtung betragen 1580,65 €.
  Ausführliche Lösungen

2. Ergebnis:
  Die gesuchte Fläche beträgt 2,939 FE.
  Ausführliche Lösung

3. Ergebnisse:
  a) x1/2 = 0 ist die einzige Nullstelle, da sie doppelt vorkommt, berührt der Graph von f(x) die x- Achse an dieser Stelle.
  b) Punkte mit waagerechter Tangente liegen bei x1 = 0 und bei x2 = 1. Alle Punkte P1a liegen im Koordinatenursprung bei P1a( 0 | 0 ). Alle Punkte P2a liegen auf einer Parallelen zur y- Achse im Abstand x = 1 und haben die Koordinaten P2a( 1 | ae ).
  Ausführliche Lösungen

1. Ausführliche Lösungen:
  a) Der untere Teil des Mundes wird durch eine quadratische Funktion beschrieben. Der obere Teil des Mundes durch eine ganzrationale Funktion 4. Grades.
01a_l
  b) Da die Graphen der Funktionen f(x) und g(x) symmetrisch zur y- Achse verlaufen, ist auch das einbeschriebene Rechteck symmetrisch zur y- Achse. Die y- Achse teilt die Rechteckseite a in zwei gleichlange Teile. Um die Seite b des Rechtecks in Abhängigkeit von a zu bestimmen, benötigt man die Koordinaten der oberen und unteren rechten Ecke des Rechtecks.
01b1_l
Die absolute Differenz der y- Koordinaten ergibt die Seite b. Dazu berechnen wir zuerst die jeweiligen y- Koordinaten der Eckpunkte.
01b2_l
  Für die Länge der Seite b gilt also:
01b3_l
Da die Seite b von a abhängt, sagt man auch b ist eine Funktion von a also b(a).
  Die Fläche des Rechtecks A ist das Produkt seiner Seiten.
01b4_l
Die Extremwertbestimmung von A(a) liefert den Wert von a, für dass die Rechteckfläche am größten wird.
01b5_l
Da aus z2 keine Wurzel gezogen werden kann und der Wert für a positiv sein soll, müsste a1 eine Extremstelle von A(a) sein. Das ist mit der 2. Ableitung von A(a) zu überprüfen.
01b6_l

Da der Graph, der den oberen Teil des Mundes bildet, an der Stelle x = 0 ein Minimum aufweist ( PMin ( 0 | 2 )), ist zu überprüfen, ob die obere Seite des Rechtecks unterhalb davon liegt.

01b7_l

Die Berechnung erfolgte mit dem Taschenrechner. Das Ergebnis bestätigt, dass die obere Seite des Rechtecks unterhalb des Minimums von f(x) liegt.

Nun kann die Fläche des Rechtecks mit dem Taschenrechner berechnet werden:

01b8_l

Das Rechteck maximaler Größe hat eine Fläche von etwa 23,095 m2.
  c) Die gesamte Fläche des Mundes ist die Fläche zwischen den Funktionsgraphen von f(x) und g(x). Diese ist über die Integration zu finden. Dazu müssen aber zuerst die Integrationsgrenzen bestimmt werden.
01c_l
Für den Mund wird an der Hauswand eine Fläche von insgesamt 36,267 m2 benötigt.
  d) Die schraffierte Fläche ist die Differenz aus der gesamten Fläche und der des Rechtecks.

01d1_l

Bemerkung:
Um Rundungsfehler möglichst zu vermeiden, sollte man bei Berechnungen mit dem Taschenrechner Zwischenwerte speichern.

01d2_l
  Bemerkung zu Rundungsfehlern
  Um Rundungsfehler möglichst zu vermeiden, sollte man bei Berechnungen mit dem Taschenrechner Zwischenwerte speichern. In vielen Fällen reicht aber für die Berechnung eine Genauigkeit von 3 Stellen hinter dem Komma. Im folgenden soll die Rechnung mit einer Genauigkeit von 3 Stellen hinter dem Komma durchgeführt werden.

01_rundung_l

2. Ausführliche Lösung:
  02_l

3. Ausführliche Lösung:
  a) 03a_l
  b) 03b_l
  03b1_l
03b1_mc_l
03b2_l
03b2_mc_l