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Mathematischer
Hintergrund
Ergebnisse und ausführliche Lösungen
Differenzialrechnung zur Vorbereitung der Klassenarbeit IV





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Nr. 01 02 03 04 05 06 07 08 09

1 Ergebnisse:
  a) 01_a_e
  b) 01_b_e
  c) 01_c_e
  d) Siehe "Ausführliche Lösungen"
  Ausführliche Lösungen

2 Ergebnisse:
  a) Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt ist gleich der Steigung der Tangente in diesem Punkt.
Ausführliche Lösung
  b) 02_b_des_e
Ausführliche Lösung
Bewegt man den Punkt P1 immer weiter auf P0 zu, so ändert sich die Sekantensteigung.

Je mehr man sich dem Punkt P0 nähert, desto mehr nähert sich die Sekantensteigung der Tangentensteigung.

Simulation (interaktiv)
  c) Die erste Ableitung einer Funktion an der Stelle x0 ist die Steigung der Tangenteim Punkt P ( x0 | f(x0) ) und somit auch die Steigung des Graphen von f(x) in diesem Punkt.
Ausführliche Lösung
  d) Die Ableitungsfunktion f'(x) heißt deshalb Steigungsfunktion, weil sie in jedem Punkt die Steigung von f(x) repräsentiert.
Ausführliche Lösung

3 Ergebnisse:
  a) 03_a_e
  b) Das Dreieck hat eine Fläche von 8,5 Flächeneinheiten (FE).
  Ausführliche Lösungen

4. Ergebnisse:
  04_e
  Ausführliche Lösungen

5 Ergebnisse:
  a) Der Graph von f(x) ist symmetrisch zur y- Achse, da nur gerade Exponenten auftreten.
  b) 05_b_e
  c) 05_c_e
  d) 05_d_e
  e) Wertetabelle siehe "Ausführliche Lösungen"
  f) Graph siehe "Ausführliche Lösungen"
  g) 05_g_e
  h) 05_h_e
  i) 05_i_e
  Ausführliche Lösungen

6 Ergebnisse:
  a) 06_b_e
Siehe "Ausführliche Lösungen"
  b) Für eine Patientenzahl von x = 3 ( 300 Patienten ) ist die Kostenzunahme am geringsten. K'(3) = 13 bedeutet 130 € / Tag.
  Ausführliche Lösungen

7 Ergebnisse: Graphen siehe "Ausführliche Lösungen"
  a) 07_a_e
  b) Bei einer Ausbringung von 4 ME sind die Differentialkosten mit 2 GE/ME am geringsten.
  c) K'(x) hat keine Nullstellen und ist eine nach oben geöffnete Parabel.
  d) 07_d_e
  e) 07_e_e
  Ausführliche Lösungen

8 Ergebnisse:
  a) Nach 0,7 s hat der Stein die Geschwindigkeit v(t) = 0.
  b) Die maximale Steighöhe beträgt 2,56 m.
  Ausführliche Lösungen

9. Ergebnisse:
  09_e
  Ausführliche Lösungen



1. Parabel durch 3 Punkte.
  a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x) der Parabel, die durch folgende Punkte verläuft:
01_a
  b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes.
  c) Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte von f(x).
  d) Zeichnen Sie die Graphen von f(x) und f'(x) in ein Koordinatensystem.
Parabel durch 3 Punkte (interaktiv)
  Ausführliche Lösung
  a) 01_a_l
  b) Der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Extrempunkt.
01_b_l
  c) 01_c_l
  d) 01_d_mc_l

2a Was verstehen Sie unter der Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt?
  Ausführliche Lösung
  Bei einer linearen Funktion ist die Steigung in jedem Punkt des Graphen gleich. Sie lässt sich leicht über das Steigungsdreieck berechnen. Funktionen mit gekrümmten Grapen haben fast überall unterschiedliche Steigungen. Über das Steigungsdreieck lässt sich die mittlere Steigung, die Sekantensteigung bestimmen, repräsentiert durch den Differenzenquotienten. Erst die Grenzwertbildung führt von der Sekanten- zur Tangentensteigung. Deshalb ist die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt gleich der Steigung der Tangente in diesem Punkt. Man nennt sie auch momentane Änderungsrate.

2b Beschreiben Sie anschaulich (Skizze) und mit Worten, wie man bei einem Graphen von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung gelangt.
  Ausführliche Lösung
  02_b_des_e: Von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung
Verbindet man zwei Punkte eines gekrümmten Graphen durch eine Gerade, so bildet diese die Sekante. Die Sekante stellt die mittlere Steigung des Graphen zwischen diesen beiden Punkten dar. Man sagt dazu auch mittlere Änderungsrate. Will man näherungsweise die Steigung in einem Punkt bestimmen, so müssen die beiden Sekantenpunkte möglichst nahe zusammenliegen. Sie dürfen aber nicht aufeinanderliegen. Bewegt man nun den Punkt P1 immer weiter auf P0 zu, so ändert sich die Sekantensteigung. Je mehr man sich dem Punkt P0 nähert, desto mehr nähert sich die Sekantensteigung der Tangentensteigung. Erst der Grenzübergang liefert den genauen Wert der Tangentensteigung. Diese repräsentiert die momentane Änderungsrate.

2c Welche Bedeutung hat die erste Ableitung einer Funktion an der Stelle x0?
  Ausführliche Lösung
  Die erste Ableitung einer Funktion an der Stelle x0 ist die Steigung der Tangente im Punkt P ( x0 | f(x0) ) und somit auch die Steigung des Graphen von f(x) in diesem Punkt. Man sagt dazu auch momentane Änderungsrate an der Stelle x0.

2d Warum nennt man die Ableitungsfunktion auch Steigungsfunktion?
  Ausführliche Lösung
  Die erste Ableitung einer Funktion an der Stelle x0 ist die Steigung des Graphen von f(x) an dieser Stelle. Da eine stetige Funktion an fast jeder Stelle ableitbar ist, bilden die Ableitungswerte wiederum eine Funktion, die sogenannte Ableitungsfunktion f'(x). f'(x) heißt deshalb auch Steigungsfunktion, weil sie in jedem Punkt die Steigung von f(x) repräsentiert.

3. 03
  a) Die Gleichungen von Tangente und Normale sollen für x0 = 2 berechnet werden.
  b) Tangente und Normale bilden mit der x- Achse zusammen ein Dreieck.
Berechnen Sie dessen Flächeninhalt.
  Ausführliche Lösung
  a) 03_a_l
  b) 03_b_l

4. Der Graph einer ganzrationalen Funktion geht durch die Punkte
04
  Berechnen Sie die Funktionsgleichung, die Extrempunkte, den Wendpunkt und die Achsenschnittpunkte.
Stellen Sie eine Wertetabelle auf und zeichnen Sie den Graphen so genau wie möglich in ein geeignetes Koordinatensystem.
Falls Ihnen zum Zeichnen Punkte fehlen, so berechnen Sie diese.
  Ausführliche Lösung
  Berechnung der Funktionsgleichung:
04_1_l
  Extrempunkte:
04_2_l
  Wendepunkt:
04_3_l
  Achsenschnittpunkte:
04_4_l
  Wertetabelle:
04_5_l
  Der Graph:
04_mc_l

5. 05
  a) Ist der Funktionsgraph symmetrisch? Falls ja, welcher Art ist die Symmetrie?
Begründen Sie Ihre Entscheidung.
  b) Berechnen sie die relativen Extrema (Hochpunkte, Tiefpunkte).
  c) Berechnen Sie die Wendepunkte und die Funktionsgleichungen der Wendetangenten.
  d) Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte.
  e) Stellen Sie mit allen bisher bekannten Punkten eine Wertetabelle auf.
  f) Zeichnen Sie den Graphen möglichst genau in ein Koordinatensystem und kennzeichnen Sie die markanten Punkte.
(Falls nötig, erweitern Sie dazu Ihre Wertetabelle um einige Punkte.
Gezeichnet werden soll im Intervall I = [ -5 ; 5 ] Maßstab: 1 cm ist eine Einheit.)
  g) Machen Sie eine Aussage über das Monotonieverhalten des Graphen, d.h. geben Sie die Intervalle für monoton steigend, bzw. monoton fallend an.
  h) Machen Sie eine Aussage über das Krümmungsverhalten des Graphen, d.h. geben Sie die Intervalle für Rechts- bzw. Linkskrümmung an.
  i) Bestimmen Sie die Randpunkte des Definitionsbereiches.
  Ausführliche Lösung
  a) Der Graph von f(x) ist symmetrisch zur y - Achse, da nur gerade Exponenten auftreten.
  b) Extrempunkte:
05_b_l
  c) Wendepunkte und Wendetangenten:
05_c_l
  d) Achsenschnittpunkte:
05_d_l
  e) Wertetabelle:
Funktionswerte wurden mit dem Taschenrechner berechnet.
Aus Symmetriegründen reicht es, nur die Funktionswerte für positive x- Werte zu berechnen.
05_e_l
  f) Die Graphen:
05_f_mc_l
  g) Monotonieverhalten:
05_g_l
  h) Krümmungsverhalten:
05_h_l
  i) Randpunkte des Definitionsbereichs:
05_i_l

6. Die Kostenfunktion K(x) eines Krankenhauses stellt den Zusammenhang zwischen der Patientenzahl x und den Gesamtkosten dar.
x = 1 bedeutet 100 Patienten, y = 1 bedeutet 1000 € / Tag.
06
06_mc
  a) Übertragen Sie die Kostenfunktion in Ihr Heft.
Die Ableitung der Kostenfunktion bezeichnet man als Differenzialkosten oder auch als Grenzkosten. Sie beschreibt die Kostenzunahme in Abhängigkeit von der Patientenzahl. (Steigung von K(x)). Bestimmen Sie K'(x) und zeichnen Sie den Graphen in das Koordinatensystem.
  b) Für welche Patientenzahl ist die Kostenzunahme am geringsten?
Berechnen Sie diesen Wert.
  Ausführliche Lösung
  a) 06_ab_l
06_b_mc_l
  b) Der Graph von K'(x) stellt eine Parabel dar, die die Kostenzunahme beschreibt.
Die geringste Kostenzunahme wird über den Scheitelpunkt der Parabel bestimmt.

06_c_l

Für eine Patientenzahl von x = 3 ( 300 Patienten ) ist die Kostenzunahme am geringsten.
K'(3) = 13 bedeutet 130 € / Tag.
Oder anders ausgedrückt:
Kommt zu den 300 Patienten einer dazu, so erhöhen sich die täglichen Kosten um 130 €.

Kontrolle:
Mit dem Umrechnungsfaktor 100 für x und 1000 für K(x) gilt:
Ein Patient mehr bei 300 Patienten bedeutet x = 3,01
Die Mehrkosten für einen zusätzlichen Patienten betragen:
K(3,01) - K(3) = 160,13 - 160 = 0,13
Multipliziert man diesen Wert mit 1000, so ergibt das 130 €/Tag.

7. Die Gesamtkosten eines Betriebes werden bei einer maximalen Ausbringungsmenge von 10 ME beschrieben durch K(x).
Der Verkaufspreis pro ME beträgt 28 GE.
07
  a) Bestimmen Sie die Ableitung der Kostenfunktion (Differenzialkostenfunktion oder Grenzkostenfunktion) und zeichnen Sie den Graphen.
Beschreiben Sie den Graphen.
  b) Berechnen Sie die minimalen Differenzialkosten
  c) Beweisen Sie, dass die Differenzialkosten für jede Ausbringungsmenge positiv sind.
  d) In welchem Bereich kann man mit Gewinn rechnen?
  e) In welchem Bereich nimmt der Gewinn zu?
  Ausführliche Lösung
  a) 07_a_l

Der Graph der Grenzkostenfunktion ist eine nach oben geöffnete Parabel.

Im Scheitelpunkt dieser sind die Grenzkosten am geringsten.
07_a_mc_l
  b) 07_b_l
  c) 07_c_l
  d) 07_d_l
  e) 07_e_l
07_e_mc_l

8. 08
  a) Nach welcher Zeit t ist die Geschwindigkeit des Steins Null?
  b) Berechnen Sie die maximale Steighöhe.
  Ausführliche Lösung
  a) 08_a_l
  b) 08_b_l

9. Der Graph einer ganzrationalen Funktion geht durch die Punkte
09
  Berechnen Sie die Funktionsgleichung, die Extrempunkte, Wendpunkt, Wendetangente und die Achsenschnittpunkte.
Stellen Sie eine Wertetabelle auf und zeichnen Sie den Graphen so genau wie möglich in ein geeignetes Koordinatensystem.
Machen Sie eine Symmetriebetrachtung und untersuchen Sie Krümmungsverhalten, Monotonie und Randpunkte des Definitionsbereiches.
Ganzrationale Funktion durch 4 Punkte (interaktiv)
  Ausführliche Lösung
  Berechnung der Funktionsgleichung:

09_1_l
  09_2_l
  09_3_l
  09_4_l
  09_5_l
  Die Graphen:
09_mc_l
  Symmetriebetrachtung:
Es gibt keine Symmetrie, da es weder nur gerade, noch nur ungerade Exponenten in der Funktionsgleichung von f(x) gibt.
  09_6_l