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Mathematischer
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Ausführliche Lösungen
Differenzialrechnung zur Vorbereitung der Klassenarbeit III





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Nr. 01 2.1 2.2 2.3 2.4 3.1 3.2 04 05 06 07

1. 01
  a) 01_a
  b) 01_b
  c) Berechnen Sie die fehlenden Werte der Wertetabelle.
01c
  d) 01d
in das vorgegebene Koordinatensystem.
  Ausführliche Lösung
 
a) 01_a_e
b) 01_b_e
c) Wertetabelle:
01_c_e
d) 01d_des_e
01_d_e

2.1
Gegeben ist folgende ganzrationale Funktion: 021
  a) Machen Sie eine Aussage über das Symmetrieverhalten.
  b) Berechnen Sie die Punkte mit waagerechten Tangenten.
  c) Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte.
  d) Berechnen Sie einige Funktionswerte und zeichnen Sie den Graphen.
  Ausführliche Lösung
 
a) 021_a_e
b) 021_b_e
c) 021_c_e
d) 021_d_e
021dmc_e

2.2
Gegeben ist folgende ganzrationale Funktion: 022
  a) Machen Sie eine Aussage über das Symmetrieverhalten.
  b) Berechnen Sie die Punkte mit waagerechten Tangenten.
  c) Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte.
  d) Berechnen Sie einige Funktionswerte und zeichnen Sie den Graphen.
  Ausführliche Lösung
 
a) 022_a_e
b) 022_b_e
c) 022_c_e
d) 022_d_e
022d_mc_e

2.3
Gegeben ist folgende ganzrationale Funktion: 023
  a) Machen Sie eine Aussage über das Symmetrieverhalten.
  b) Berechnen Sie die Punkte mit waagerechten Tangenten.
  c) Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte.
  d) Berechnen Sie einige Funktionswerte und zeichnen Sie den Graphen.
  Ausführliche Lösung
 
a) 023_a_e
b) 023_b_e
c) 023_c_e
d) 023_d_e
023d_mc_e

2.4
Gegeben ist folgende ganzrationale Funktion: 024
  a) Machen Sie eine Aussage über das Symmetrieverhalten.
  b) Berechnen Sie die Punkte mit waagerechten Tangenten.
  c) Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte.
  d) Berechnen Sie einige Funktionswerte und zeichnen Sie den Graphen.
  Ausführliche Lösung
 
a) 024_a_e
b) 024_b_e
c) 024_c_e
d) 024_d_e
024d_mc_e
Bemerkung:
An der Stelle x = 0 hat der Graph von f(x) zwar eine waagerechte Tangente,es liegt dort aber weder ein Hochpunkt, noch ein Tiefpunkt vor.
Das bedeutet, Stellen mit waagerechten Tangenten müssen nicht zwangsläufig Extrempunkte sein. Aber Extrempunkte haben immer waagerechte Tangenten.

3.1
Eine ganzrationale Funktion verläuft durch folgende 4 Punkte: 031
  a) Machen Sie eine Aussage über das Symmetrieverhalten.
  b) Berechnen Sie die Punkte mit waagerechten Tangenten.
  c) Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte.
  d) Berechnen Sie einige Funktionswerte und zeichnen Sie den Graphen.
  Ausführliche Lösung
 
a) 031_a_e
b) 031_b_e
c) 031_c_e
d) 031_d_e
e) 031_e_e
031e_mc_e

3.2
Eine ganzrationale Funktion verläuft durch folgende 4 Punkte: 032
  a) Machen Sie eine Aussage über das Symmetrieverhalten.
  b) Berechnen Sie die Punkte mit waagerechten Tangenten.
  c) Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte.
  d) Berechnen Sie einige Funktionswerte und zeichnen Sie den Graphen.
  Ausführliche Lösung
 
a) 032_a_e
b) 032_b_e
c) 032_c_e
d) 032_d_e
e) 032_e_e
032e_mc_e

4. Der Graph der Funktion f(x) ist näherungsweise die Flugkurve des Balls bei einem Freistoß in einem Fußballspiel.
04
04_mc
  a) Welche maximale Höhe erreicht der Ball und wie weit ist er dann vom Abschusspunkt entfernt?
  b) Wie weit vom Abschusspunkt kommt der Ball wieder auf den Boden?
  c) In einer Entfernung von 9 Metern befindet sich die Spielerabwehrmauer, sie ist 2 m hoch. Überfliegt der Ball diese?
  d) Der Ball überfliegt die Torlinie in 2 m Höhe. In welcher Entfernung von der Torlinie wurde der Freistoß ausgeführt?
  Ausführliche Lösung
 
a) 04_a_e
b) 04_b_e
c) 04_c_e
d) 04_d_e

5. Berechnen Sie für folgende Funktionen den Differenzialquotienten
05
und erklären Sie anhand einer Skizze dessen allgemeine Bedeutung.
  a) b)
  Ausführliche Lösung
  a) 051_e
  05_des_e Legt man den Punkt P1 näher an P0,so entspricht die Steigung der neuen Sekante schon eher der Steigung der Funktion im Punkt P0, die ermittelt werden soll. Führt man dieses Verfahren konsequent fort, und nähert den Punkt P1 immer mehr dem Punkt P0 an, so entsteht als Grenzlage eine Gerade, die den Funktionsgraphen nur noch im Punkt P0 berührt. Die Tangente an den Funktionsgraphen im Punkt P0. Die Steigung der Tangente entspricht dann genau der Steigung des Funktionsgraphen im Punkt P0.
  b) 052_e
  05_des_e Legt man den Punkt P1 näher an P0,so entspricht die Steigung der neuen Sekante schon eher der Steigung der Funktion im Punkt P0, die ermittelt werden soll. Führt man dieses Verfahren konsequent fort, und nähert den Punkt P1 immer mehr dem Punkt P0 an, so entsteht als Grenzlage eine Gerade, die den Funktionsgraphen nur noch im Punkt P0 berührt. Die Tangente an den Funktionsgraphen im Punkt P0. Die Steigung der Tangente entspricht dann genau der Steigung des Funktionsgraphen im Punkt P0.

6. Aus einem quadratischen Karton der Seitenlänge 26 cm wird durch falten eine Schachtel ohne Deckel mit der Höhe x geformt.
  a) Bestimmen Sie einen Funktionsterm, der das Volumen V in Abhängigkeit von x beschreibt. 06_mc
  b) Zeichnen Sie den Graphen und bestimmen Sie näherungsweise das maximale Volumen.
  Ausführliche Lösung
 
a) 06_a_e
b) 06_b_1_e
06b_mc_e
06_b_2_e

7. Die Kostenfunktion K(x) eines Krankenhauses stellt den Zusammenhang zwischen der Patientenzahl x und den Gesamtkosten dar.
x = 1 bedeutet 100 Patienten, y = 1 bedeutet 1000 € / Tag.
07
07_mc
  a) Übertragen Sie die Kostenfunktion in Ihr Heft.
Die Ableitung der Kostenfunktion bezeichnet man als Differenzialkosten oder auch als Grenzkosten. Sie beschreibt die Kostenzunahme in Abhängigkeit von der Patientenzahl. (Steigung von K(x)). Bestimmen Sie K'(x) und zeichnen Sie den Graphen in das Koordinatensystem.
  b) Für welche Patientenzahl ist die Kostenzunahme am geringsten?
Berechnen Sie diesen Wert.
  Ausführliche Lösung
 
a) 07_a_e
07ab_mc_e
b) Der Graph von K'(x) stellt eine Parabel dar, die die Kostenzunahme beschreibt. Die geringste Kostenzunahme wird über den Scheitelpunkt der Parabel bestimmt.
07_c_e
Für eine Patientenzahl von x = 3 ( 300 Patienten ) ist die Kostenzunahme am geringsten. K'(3) = 13 bedeutet 130 € / Tag. Oder anders ausgedrückt: Kommt zu den 300 Patienten einer dazu, so erhöhen sich die täglichen Kosten um 130 €.

Kontrolle: Mit dem Umrechnungsfaktor 100 für x und 1000 für K(x) gilt: Ein Patient mehr bei 300 Patienten bedeutet x = 3,01. Die Mehrkosten für einen zusätzlichen Patienten betragen: K(3,01) - K(3) = 160,13 - 160 = 0,13. Multipliziert man diesen Wert mit 1000, so ergibt das 130 €/Tag.