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Mathematischer
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Ergebnisse und ausführliche Lösungen
Differenzialrechnung zur Vorbereitung der Klassenarbeit I





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Nr. 01 02 03 04 05 06 07 08

1 Ergebnisse:
  a) 01_a_e
Ausführliche Lösung
  b) 01_b_e
Ausführliche Lösung
  c) 01_c_e
Ausführliche Lösung
  d) Den Graphen finden Sie unter
Ausführliche Lösung

2. Ergebnis:
  Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt ist gleich der Steigung der Tangente in diesem Punkt.
Ausführliche Lösung

3. Lösung:
  03_des_e
Bewegt man den Punkt P1 immer weiter auf P0 zu, so ändert sich die Sekantensteigung.
Je mehr man sich dem Punkt P0 nähert, desto mehr nähert sich die Sekantensteigung der Tangentensteigung.
Ausführliche Lösung

4. Ergebnis:
  Die erste Ableitung einer Funktion an der Stelle x0 ist die Steigung der Tangenteim Punkt P ( x0 | f(x0) ) und somit auch die Steigung des Graphen von f(x) in diesem Punkt.
Ausführliche Lösung

5. Ergebnis:
  Die Ableitungsfunktion f'(x) heißt deshalb Steigungsfunktion, weil sie in jedem Punkt die Steigung von f(x) repräsentiert.
Ausführliche Lösung

6 Ergebnisse:
  a) 06_a_e
Ausführliche Lösung
  b) 06_b_e
Ausführliche Lösung
  c) 06_c_e
Ausführliche Lösung
  d) 06_d_e
Ausführliche Lösung
  e) 06_e_e
Ausführliche Lösung
  f) 06_f_e
Ausführliche Lösung
  g) 06_g_e
Ausführliche Lösung.
  h) 06_h_e
Ausführliche Lösung
  i) 06_i_e
Ausführliche Lösung
  j) 06_j_e
Ausführliche Lösung.

7. Ergebnis:
  07_e
Ausführliche Lösung

8. Ergebnis:
  08_des_e
Ausführliche Lösung




1. Parabel durch 3 Punkte.
  a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x) der Parabel, die durch die Punkte
01_a
  b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes.
  c) Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte von f(x).
  d) Zeichnen Sie die Graphen von f(x) und f'(x) in ein Koordinatensystem.
  Ausführliche Lösung
  a) 01_a_l
  b) Der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Extrempunkt.
01_b_l
  c) 01_c_l
  d) 01_d_mc_e: Parabel wird von einer Geraden geschnitten.

2. Was verstehen Sie unter der Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt?
  Ausführliche Lösung
  Bei einer linearen Funktion ist die Steigung in jedem Punkt des Graphen gleich. Sie lässt sich leicht über das Steigungsdreieck berechnen. Funktionen mit gekrümmten Grapen haben fast überall unterschiedliche Steigungen. Über das Steigungsdreieck lässt sich die mittlere Steigung, die Sekantensteigung bestimmen, repräsentiert durch den Differenzenquotienten. Erst die Grenzwertbildung führt von der Sekanten- zur Tangentensteigung. Deshalb ist die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt gleich der Steigung der Tangente in diesem Punkt. Man nennt sie auch momentane Änderungsrate.

3. Beschreiben Sie anschaulich (Skizze) und mit Worten, wie man bei einem Graphen von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung gelangt.
  Ausführliche Lösung
  03_des_e
Verbindet man zwei Punkte eines gekrümmten Graphen durch eine Gerade, so bildet diese die Sekante. Die Sekante stellt die mittlere Steigung des Graphen zwischen diesen beiden Punkten dar. Man sagt dazu auch mittlere Änderungsrate. Will man näherungsweise die Steigung in einem Punkt bestimmen, so müssen die beiden Sekantenpunkte möglichst nahe zusammenliegen. Sie dürfen aber nicht aufeinanderliegen. Bewegt man nun den Punkt P1 immer weiter auf P0 zu, so ändert sich die Sekantensteigung. Je mehr man sich dem Punkt P0 nähert, desto mehr nähert sich die Sekantensteigung der Tangentensteigung. Erst der Grenzübergang liefert den genauen Wert der Tangentensteigung. Diese repräsentiert die momentane Änderungsrate.

4. Welche Bedeutung hat die erste Ableitung einer Funktion an der Stelle x0?
  Ausführliche Lösung
  Die erste Ableitung einer Funktion an der Stelle x0 ist die Steigung der Tangente im Punkt P ( x0 | f(x0) ) und somit auch die Steigung des Graphen von f(x) in diesem Punkt. Man sagt dazu auch momentane Änderungsrate an der Stelle x0.

5. Warum nennt man die Ableitungsfunktion auch Steigungsfunktion?
  Ausführliche Lösung
  Die erste Ableitung einer Funktion an der Stelle x0 ist die Steigung des Graphen von f(x) an dieser Stelle. Da eine stetige Funktion an fast jeder Stelle ableitbar ist, bilden die Ableitungswerte wiederum eine Funktion, die sogenannte Ableitungsfunktion f'(x). f'(x) heißt deshalb auch Steigungsfunktion, weil sie in jedem Punkt die Steigung von f(x) repräsentiert.

6a
Leiten Sie dreimal ab. 06_a
  Ausführliche Lösung
  06_a_l
Die Ableitung einer Konstanten Funktion ist Null. Damit sind auch alle weiteren Ableitungen Null.
6b
Leiten Sie dreimal ab. 06_b
  Ausführliche Lösung
  06_b_l
Es ist sinnvoll vor dem Ableiten den Funktionsterm zu vereinfachen.
6c
Leiten Sie dreimal ab. 06_c
  Ausführliche Lösung
  06_c_l
6d
Leiten Sie dreimal ab. 06_d
  Ausführliche Lösung
  06_d_l
6e
Leiten Sie dreimal ab. 06_e
  Ausführliche Lösung
  06_e_l
Es ist sinnvoll vor dem Ableiten den Funktionsterm zu vereinfachen.
6f
Leiten Sie dreimal ab. 06_f
  Ausführliche Lösung
  06_f_l
Es ist sinnvoll vor dem Ableiten den Funktionsterm zu vereinfachen.
6g
Leiten Sie dreimal ab. 06_g
  Ausführliche Lösung
  06_g_l
6h
Leiten Sie dreimal ab. 06_h
  Ausführliche Lösung
  06_h_l
6i
Leiten Sie dreimal ab. 06_i
  Ausführliche Lösung
  06_i_l
6j
Leiten Sie dreimal ab. 06_j
  Ausführliche Lösung
  06_j_l

7.
Gegeben ist die Funktion f(x). Die Gleichungen für Tangente und Normale sollen für den Punkt P ( 2 | f(2) ) berechnet werden. 07
  Ausführliche Lösung
  07_1_l
  Alternativlösung mittels Formel:
Tangente und Normale an den Graphen von f(x) durch die Punkte P( x0 | f(x0) )
07_2_l

8. Skizzieren Sie unterhalb des Funktionsgraphen den Graphen der Ableitungsfunktion und markieren Sie in beiden Graphen die charakteristischen Punkte.
  08_des
  Ausführliche Lösung
  08_des_e
Markante Punkte des Graphen von f(x) sind Hochpunkt, Tiefpunkt und der Wendepunkt. Dort, wo f(x) den Hoch- bzw. Tiefpunkt hat, ist der Wert der Ableitungsfunktion Null, da sich an dieser Stelle von f(x) waagerechte Tangenten befinden. Waagerechte Tangente an f(x) bedeutet Steigung von f(x) an diesen Stellen Null. Die Steigung im Wendepunkt ist negativ aber maximal im Intervall zwischen den Extrempunkten. Deshalb hat dort die Ableitungsfunktion ihren Tiefpunkt. Die Funktionswerte der Ableitungsfunktion sind zwischen ihren Nullstellen negativ, außerhalb dieser positiv. Das entspricht genau der Steigung von f(x).